L’aire d’un triangle

Ce que dit la formule

Pour tout triangle, on choisit l’un des trois côtés comme base. La hauteur relative à cette base est le segment issu du sommet opposé et perpendiculaire à la droite qui porte la base. Alors :

• $\mathcal{A}$ est l’aire du triangle, en unités d’aire : si les longueurs sont en centimètres, l’aire est en centimètres carrés (cm²).
• $b$ est la longueur du côté choisi comme base.
• $h$ est la longueur de la hauteur relative à ce côté : la distance entre le sommet opposé et la droite qui porte la base, mesurée perpendiculairement.

Trois précisions évitent les erreurs les plus courantes :

• La hauteur n’est pas un côté, sauf dans un triangle rectangle. Multiplier la base par un côté oblique donne un résultat trop grand.
• Le pied de la hauteur peut tomber hors de la base. Dans un triangle qui a un angle obtus, la hauteur issue d’un des sommets rencontre le prolongement de la base, et non la base elle-même ; la formule reste vraie avec cette hauteur.
• N’importe quel côté peut servir de base, à condition de prendre la hauteur qui lui correspond. Les trois calculs donnent la même aire.

Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit sont l’un la hauteur de l’autre : l’aire vaut la moitié de leur produit.

Lorsqu’on connaît seulement les trois longueurs des côtés, notées ici $a$, $b$ et $c$, la formule de Héron donne l’aire sans passer par une hauteur :

où $p = \frac{a + b + c}{2}$ est le demi-périmètre. Dans cette formule, $b$ désigne la longueur d’un côté, et non plus la base de la formule principale.

Un exemple

Prenons le triangle dont les côtés mesurent 13 cm, 14 cm et 15 cm. On peut le placer dans un repère avec les sommets $B(0\,;\,0)$, $C(14\,;\,0)$ et $A(5\,;\,12)$ : on vérifie que $AB = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ et $AC = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15$.

Avec la base et la hauteur. Le côté $[BC]$, de 14 cm, est posé sur l’axe horizontal ; la hauteur issue de $A$ est verticale et mesure 12 cm. Donc

Avec la formule de Héron. Le demi-périmètre vaut $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$. Alors $p - 13 = 8$, $p - 14 = 7$ et $p - 15 = 6$, et

Les deux méthodes donnent bien le même résultat. On en déduit aussi les deux autres hauteurs, puisque $h = \frac{2\mathcal{A}}{b}$ : la hauteur relative au côté de 13 cm vaut $\frac{168}{13}$, environ 12,92 cm, et celle relative au côté de 15 cm vaut $\frac{168}{15} = 11{,}2$ cm.

Pourquoi c’est vrai

Cas où le pied de la hauteur tombe sur la base. La hauteur $[CH]$ coupe le triangle en deux triangles rectangles. Chacun est la moitié d’un rectangle coupé par sa diagonale, le rectangle construit sur ses deux côtés de l’angle droit. Les deux rectangles accolés forment un rectangle de largeur $b$ et de hauteur $h$, et le triangle en occupe exactement la moitié : $\mathcal{A} = \frac{b \times h}{2}$.

Cas général. On fait faire au triangle un demi-tour autour du milieu de l’un de ses deux autres côtés. Le triangle et sa copie forment alors un parallélogramme de base $b$ et de hauteur $h$. Or un parallélogramme a la même aire qu’un rectangle de même base et de même hauteur, soit $b \times h$ : quand il est peu penché, il suffit de découper un triangle à une extrémité et de le recoller à l’autre ; dans tous les cas, c’est la proposition 35 du livre I des Éléments d’Euclide. Le triangle étant la moitié du parallélogramme, son aire vaut $\frac{b \times h}{2}$. Ce raisonnement couvre aussi le triangle obtus.

Une conséquence frappante : si l’on déplace le sommet opposé le long d’une droite parallèle à la base, la base et la hauteur ne changent pas, donc l’aire non plus, même si le triangle se déforme beaucoup.

La formule de Héron se démontre en exprimant la hauteur à l’aide des trois côtés, grâce au théorème de Pythagore appliqué aux deux triangles rectangles que forme la hauteur, puis en factorisant ; le calcul, un peu long, dépasse le cadre de cette page.

Un peu d’histoire

Le papyrus Rhind, copié en Égypte il y a environ 3 600 ans, contient un problème où l’aire d’un triangle de base 4 et de « hauteur » 10 est donnée égale à 20. Le résultat correspond à la formule actuelle, mais les historiens discutent du sens exact de la mesure appelée ici hauteur.

Dans les Éléments d’Euclide (vers 300 av. J.-C.), la proposition 37 du livre I établit que deux triangles construits sur la même base et entre les mêmes parallèles ont la même aire, et la proposition 41 (nouvel onglet) qu’un parallélogramme de même base, entre les mêmes parallèles qu’un triangle, en est le double. C’est exactement le raisonnement ci-dessus.

La formule qui donne l’aire à partir des trois côtés porte le nom de Héron d’Alexandrie, qui vécut au Ier siècle de notre ère ; une démonstration figure dans son ouvrage Les Métriques. L’historien Thomas Heath a suggéré qu’Archimède la connaissait déjà, plus de deux siècles plus tôt. En Chine, une formule équivalente a été publiée par Qin Jiushao en 1247.

Ce que montre l’affiche

En haut, le programme dessine un triangle de base 6 et de hauteur 4 dans le rectangle $b \times h$ qui l’entoure : la hauteur le coupe en deux triangles rectangles, chacun accompagné de sa copie claire, qui complète la moitié correspondante du rectangle. En bas, trois triangles partagent la même base et ont leur sommet sur la même parallèle à cette base ; l’un d’eux est obtus, et sa hauteur tombe hors de la base. Le programme calcule l’aire de chacun par une autre méthode (les coordonnées des sommets) et vérifie qu’elle vaut bien $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ avant de l’écrire. Comme tous les dessins de la boutique, il est calculé par des programmes écrits pour l’atelier, à partir de la formule elle-même, et existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Le théorème de Pythagore, qui permet de calculer une hauteur à partir des côtés.
• Sinus, cosinus et tangente : avec deux côtés $a$ et $b$ et l’angle $\gamma$ qu’ils forment, l’aire vaut aussi $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$.
• Périmètre et aire du disque : Archimède ramène l’aire du disque à celle d’un triangle.
• Le théorème de Thalès, autre grand résultat sur les triangles.