La loi de Snell-Descartes

Ce que dit la formule

Un rayon lumineux arrive, dans un milieu d’indice $n_1$, sur la surface qui le sépare d’un milieu d’indice $n_2$. Une partie de la lumière traverse la surface : c’est le rayon réfracté. Les angles des deux rayons vérifient

• $n_1$ et $n_2$ : les indices de réfraction des deux milieux, sans unité. L’indice d’un milieu est $n = c/v$, où $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide et $v$ sa vitesse dans le milieu : environ 1 pour l’air (1,000 3), 1,333 pour l’eau, 1,5 pour un verre courant, 2,42 pour le diamant.
• $\theta_1$ : l’angle d’incidence, entre le rayon qui arrive et la normale à la surface (la droite perpendiculaire à la surface au point d’arrivée).
• $\theta_2$ : l’angle de réfraction, entre le rayon réfracté et la normale.

Les angles se mesurent depuis la normale, pas depuis la surface. C’est la source d’erreur la plus fréquente : avec les angles comptés depuis la surface, il faudrait des cosinus à la place des sinus.

Les conditions. La loi vaut pour des milieux transparents, homogènes et isotropes (le verre, l’eau, l’air au repos, mais pas un cristal comme le spath d’Islande, qui dédouble les rayons), et pour une surface plane, ou assez peu courbée pour paraître plane à l’échelle du rayon. L’indice dépend de la couleur de la lumière ; les valeurs ci-dessus sont données pour la lumière jaune, vers 589 nm. La même loi, avec les vitesses des ondes, vaut pour le son et les ondes à la surface de l’eau.

Les autres lois de Descartes. Le rayon réfracté reste dans le plan formé par le rayon incident et la normale, de l’autre côté de la normale. Une partie de la lumière est aussi réfléchie, avec un angle de réflexion égal à l’angle d’incidence.

L’angle limite. Si la lumière passe dans un milieu moins réfringent ($n_1 > n_2$, de l’eau vers l’air), elle s’écarte de la normale. Au-delà de l’angle limite $\theta_c$, défini par $\sin\theta_c = n_2/n_1$, il faudrait $\sin\theta_2 > 1$ : aucun rayon réfracté n’existe, toute la lumière est réfléchie. C’est la réflexion totale, qui guide la lumière dans les fibres optiques.

Un exemple

De l’air vers l’eau. Un rayon arrive sur l’eau sous un angle de $30^\circ$ avec la normale. Avec $n_1 = 1$ et $n_2 = 1{,}333$ :

Le rayon se rapproche de la normale : c’est pour cela qu’un bâton plongé dans l’eau paraît brisé à la surface.

De l’eau vers l’air. L’angle limite vaut $\theta_c = \arcsin(1/1{,}333) \approx 48{,}6^\circ$. Un plongeur qui regarde vers le haut voit donc tout le ciel rassemblé dans un cône d’environ $97{,}2^\circ$ d’ouverture (deux fois l’angle limite), appelé fenêtre de Snell ; au-delà, la surface est un miroir. Pour un verre d’indice 1,5, l’angle limite vaut environ $41{,}8^\circ$, et pour le diamant ($n \approx 2{,}42$) environ $24{,}4^\circ$.

Pourquoi c’est vrai

La démonstration la plus courte vient du principe de Fermat : la lumière suit, entre deux points, un chemin dont la durée est minimale (plus exactement stationnaire).

Plaçons la surface sur l’axe horizontal, un point $A$ dans le milieu 1 à la hauteur $a$, un point $B$ dans le milieu 2 à la profondeur $b$, séparés horizontalement par la distance $d$. Le rayon traverse la surface au point $I$, à l’abscisse $x$. Il parcourt $AI = \sqrt{a^2 + x^2}$ à la vitesse $c/n_1$, puis $IB = \sqrt{b^2 + (d - x)^2}$ à la vitesse $c/n_2$. La durée du trajet est

Au minimum, la dérivée s’annule :

Or $\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \sin\theta_1$ et $\frac{d - x}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}} = \sin\theta_2$ : c’est exactement $n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$. Les programmes de l’atelier ont refait ce calcul sans utiliser la loi : ils cherchent, pour 2 000 couples de points tirés au hasard, le chemin le plus rapide, et constatent qu’il vérifie la loi.

Une autre démonstration, due à Huygens, repose sur les ondes : quand un front d’onde arrive en biais sur la surface, la partie déjà entrée dans le milieu le plus lent prend du retard, et le front tourne.

Un peu d’histoire

Selon Wikipedia, Ptolémée avait déjà mesuré des angles de réfraction, mais la relation qu’il en tirait n’était juste que pour les petits angles. La loi exacte apparaît pour la première fois chez Ibn Sahl, mathématicien à la cour de Bagdad, dans un traité sur les miroirs et les lentilles ardentes écrit vers 984. Elle est retrouvée par l’Anglais Thomas Harriot en 1602, qui ne la publie pas, puis par le Néerlandais Willebrord Snell (Snellius) en 1621, sans publication de son vivant non plus. René Descartes la publie en 1637 dans La Dioptrique, d’où le nom de loi de Snell-Descartes en France (et de loi de Snell dans les pays anglophones). Pierre de Fermat, qui rejetait le raisonnement de Descartes, la retrouve à partir de son principe du temps minimal ; Christiaan Huygens l’explique par les ondes dans son Traité de la lumière, publié en 1690.

Ce que montre l’affiche

Le dessin montre des rayons lumineux qui partent d’un point placé sous l’eau ($n_1 = 1{,}333$), tous les $5^\circ$, vers la surface et l’air ($n_2 \approx 1$). Pour chaque rayon, le programme calcule l’angle de réfraction avec la loi : les rayons proches de la verticale traversent la surface en s’écartant de la normale (la verticale en tirets), d’autant plus qu’ils arrivent en biais. Les deux rayons en pointillé arrivent exactement sous l’angle limite, environ $48{,}6^\circ$, et ressortent en rasant la surface ; tous ceux qui arrivent plus en biais sont totalement réfléchis vers le fond. Le dessin est calculé par des programmes écrits pour l’atelier, à partir de la formule elle-même ; l’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La vitesse de la lumière, qui définit l’indice de réfraction $n = c/v$.
• La dérivée, l’outil de la démonstration par le principe de Fermat.
• La trigonométrie du triangle rectangle, pour le sinus d’un angle.
• L’effet Doppler, une autre loi des ondes.

Sources : Lois de Snell-Descartes (Wikipédia) (nouvel onglet), Snell’s law (Wikipedia) (nouvel onglet), Total internal reflection (Wikipedia) (nouvel onglet), Snell’s law (Encyclopædia Britannica) (nouvel onglet), Refractive index (Wikipedia) (nouvel onglet), Ibn Sahl (Wikipedia) (nouvel onglet).