Les nombres premiers et leur répartition

Ce que dit la formule

Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs positifs : $1$ et lui-même. Les premiers sont $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \ldots$ Le nombre $1$ n’est pas premier (il n’a qu’un diviseur), et $2$ est le seul premier pair.

Le théorème des nombres premiers décrit combien il y en a jusqu’à un nombre donné :

• $x$ est un nombre réel positif, que l’on fait tendre vers l’infini.
• $\pi(x)$ est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $x$. Ce n’est pas le nombre $\pi \approx 3{,}14$ : c’est une notation usuelle pour une fonction de comptage. Par exemple $\pi(10) = 4$, car seuls $2, 3, 5, 7$ sont premiers jusqu’à $10$.
• $\ln x$ est le logarithme népérien de $x$.
• Le signe $\sim$ (« est équivalent à ») signifie que le quotient $\pi(x) \big/ \frac{x}{\ln x}$ tend vers $1$ quand $x$ tend vers l’infini. L’erreur relative devient aussi petite qu’on veut, mais l’écart absolu entre les deux quantités, lui, continue de grandir.

Deux façons parlantes de lire le théorème : autour d’un grand nombre $x$, la proportion de nombres premiers est d’environ $\frac{1}{\ln x}$ ; et le $n$-ième nombre premier $p_n$ vérifie $p_n \sim n \ln n$.

Un exemple

Comparons le vrai nombre de premiers à l’estimation $\frac{x}{\ln x}$ (valeurs exactes de $\pi(x)$ : suite A006880 de l’OEIS (nouvel onglet)) :

Le quotient diminue vers $1$, mais lentement. Pour $x = 1\,000\,000$, l’estimation se trompe encore d’environ $6\,115$ nombres premiers, soit près de $8\,\%$. Une approximation plus précise est l’intégrale logarithmique $\mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln t}$, équivalente à $\frac{x}{\ln x}$ : elle donne environ $78\,626$ pour $x = 1\,000\,000$, à environ $128$ près.

Le théorème décrit une tendance moyenne, pas l’emplacement de chaque nombre premier. Localement, les premiers restent irréguliers : $113$ et $127$ sont deux premiers consécutifs, séparés par treize nombres composés. On peut même trouver des trous aussi longs qu’on veut : pour tout entier $n \geq 2$, les $n - 1$ nombres $n! + 2, n! + 3, \ldots, n! + n$ ne sont pas premiers, car $n! + k$ est divisible par $k$. Avec $n = 5$, cela donne $122, 123, 124, 125$. À l’inverse, on ignore toujours s’il existe une infinité de couples de premiers distants de $2$, comme $11$ et $13$ ou $41$ et $43$ : c’est la conjecture des nombres premiers jumeaux.

Pourquoi c’est vrai

Il y a une infinité de nombres premiers. Ce résultat, plus simple, a une démonstration complète très courte, que l’on trouve déjà chez Euclide. Supposons qu’il n’y ait qu’un nombre fini de premiers $p_1, p_2, \ldots, p_k$, et posons $N = p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k + 1$. Comme $N \geq 2$, il a au moins un diviseur premier (son plus petit diviseur supérieur à $1$). Ce diviseur ne peut être aucun des $p_i$ : il diviserait à la fois $N$ et le produit, donc leur différence, qui vaut $1$. C’est une contradiction. Attention, $N$ lui-même n’est pas forcément premier : $2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 + 1 = 30\,031 = 59 \times 509$.

Le théorème des nombres premiers est beaucoup plus difficile ; sa démonstration complète dépasse le cadre de cette page. L’idée est de passer par la fonction zêta de Riemann, définie pour les nombres $s > 1$ par $\zeta(s) = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^s}$, et qu’Euler a reliée aux nombres premiers par un produit infini. En prolongeant $\zeta$ aux nombres complexes (la somme converge pour une partie réelle strictement supérieure à $1$, et la fonction s’étend au-delà), on montre que la répartition des nombres premiers est gouvernée par les points où $\zeta$ s’annule. Une étape décisive consiste à prouver que $\zeta(s)$ ne s’annule jamais sur la droite des nombres complexes de partie réelle égale à $1$. Il existe aussi, depuis le milieu du XXe siècle, des démonstrations dites « élémentaires », sans nombres complexes, mais elles ne sont pas plus courtes.

Un peu d’histoire

Les Éléments d’Euclide (vers 300 avant notre ère) contiennent déjà la preuve qu’il existe une infinité de nombres premiers (livre IX, proposition 20).

La forme $\frac{x}{\ln x}$ apparaît à la fin du XVIIIe siècle. En 1797-1798, Adrien-Marie Legendre conjecture, à partir de tables de nombres premiers, une approximation de la forme $\frac{x}{A \ln x + B}$. Carl Friedrich Gauss écrit en 1849 qu’il s’était intéressé à la question vers 1792 ou 1793, à 15 ou 16 ans, en estimant la densité des premiers autour de $x$ à environ $\frac{1}{\ln x}$. Vers 1850, Pafnouti Tchebychev montre que le quotient $\pi(x) \big/ \frac{x}{\ln x}$ reste encadré pour $x$ assez grand, et que s’il a une limite, elle vaut $1$. En 1859, Bernhard Riemann relie la question aux zéros de la fonction zêta.

Le théorème est enfin démontré en 1896, indépendamment, par Jacques Hadamard et Charles-Jean de La Vallée Poussin, tous deux en s’appuyant sur les idées de Riemann.

La spirale du dessin a une histoire plus récente : en 1963, Stanislaw Ulam, qui griffonnait pendant un exposé, enroula les entiers en spirale et remarqua que les premiers semblaient s’aligner. Martin Gardner la fit connaître en mars 1964 dans sa rubrique du Scientific American.

Ce que montre l’affiche

Le dessin est une spirale d’Ulam : les entiers de $1$ à $6\,561$ ($81 \times 81$) sont enroulés en carré à partir du centre, et le programme teste chacun d’eux avec un crible. Les $847$ nombres premiers de cet intervalle sont de gros points de couleur, les autres de petits points pâles. Deux couleurs séparent les premiers qui laissent un reste $1$ dans la division par $4$ des autres. Des alignements en diagonale apparaissent ; ils correspondent à des polynômes du second degré riches en premiers, mais aucune loi démontrée ne les explique encore. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La fonction zêta de Riemann, clé de la démonstration du théorème.
• Le problème de Bâle, qui calcule $\zeta(2)$.
• Le grand théorème de Fermat, autre grande question sur les nombres entiers.