Les rosaces de Grandi

Ce que dit la formule

Les rosaces s'écrivent en coordonnées polaires : un point est repéré par sa distance $r$ à un point fixe $O$ (le centre) et par l'angle $\theta$ de la direction $O \to$ point.

• $\theta$ : l'angle, en radians, qui augmente à partir de $0$.
• $r$ : la distance au centre. Elle peut être négative : par convention, le point $(r, \theta)$ avec $r < 0$ est placé à la distance $|r|$ dans la direction opposée, $\theta + \pi$.
• $k$ : un nombre strictement positif qui fixe la forme de la fleur. On l'écrit sous forme de fraction irréductible $\tfrac{p}{q}$, avec $p$ et $q$ entiers strictement positifs sans diviseur commun.
• On peut multiplier par une longueur $a$ pour changer la taille, $r = a\cos(k\theta)$, sans changer la forme.

Le nombre de pétales dépend de $k$ :

• $k$ entier impair : la rosace a $k$ pétales, et elle est entièrement tracée quand $\theta$ va de $0$ à $\pi$ ;
• $k$ entier pair : la rosace a $2k$ pétales, et il faut faire varier $\theta$ de $0$ à $2\pi$ ;
• $k = \tfrac{p}{q}$ fractionnaire : la courbe se referme toujours. Elle est complète quand $\theta$ a parcouru $q\pi$ si $p$ et $q$ sont tous deux impairs, et $2q\pi$ sinon. Elle forme alors $p$ boucles dans le premier cas, $2p$ dans le second, qui peuvent se chevaucher.
• $k$ irrationnel : la courbe ne se referme jamais et finit par passer aussi près que l'on veut de n'importe quel point du disque de rayon 1.

Pour $k$ entier, l'aire totale des pétales vaut $\tfrac{\pi}{4}$ si $k$ est impair et $\tfrac{\pi}{2}$ si $k$ est pair (à multiplier par $a^2$ si l'on a changé la taille).

Un exemple

Suivons la rosace $k = 3$, $r = \cos 3\theta$.

• $\theta = 0$ : $r = \cos 0 = 1$. C'est la pointe d'un pétale, dans la direction 0°.
• $\theta = \tfrac{\pi}{9}$ (20°) : $r = \cos\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{1}{2}$.
• $\theta = \tfrac{\pi}{6}$ (30°) : $r = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$. Le point est revenu au centre : le premier pétale est fini.
• $\theta = \tfrac{\pi}{3}$ (60°) : $r = \cos\pi = -1$. Comme $r$ est négatif, le point est placé dans la direction opposée, à 240° : c'est la pointe d'un deuxième pétale.
• $\theta = \tfrac{2\pi}{3}$ (120°) : $r = \cos 2\pi = 1$. Pointe d'un troisième pétale, à 120°.
• $\theta = \pi$ : $r = \cos 3\pi = -1$, placé dans la direction $\pi + \pi$, c'est-à-dire 0° : on est revenu à la première pointe.

La rosace a donc trois pétales, pointés à 0°, 120° et 240°. Son aire totale vaut $\tfrac{\pi}{4}$, environ $0{,}7853$, soit $\tfrac{\pi}{12}$, environ $0{,}2617$, par pétale.

Pourquoi c'est vrai

Le raisonnement tient en trois remarques, pour $k$ entier.

Un pétale entre deux zéros. $r = \cos(k\theta)$ s'annule chaque fois que $k\theta = \tfrac{\pi}{2} + m\pi$ ($m$ entier), c'est-à-dire tous les $\tfrac{\pi}{k}$. Entre deux zéros consécutifs, $r$ garde le même signe : le point part du centre, s'en éloigne jusqu'à la distance $1$, puis y revient. Chaque intervalle de longueur $\tfrac{\pi}{k}$ dessine donc un pétale.

Si $k$ est impair. On a $\cos(k\theta + k\pi) = -\cos(k\theta)$, car $k\pi$ est un multiple impair de $\pi$. Le point $(r, \theta + \pi)$ devient donc $(-r, \theta + \pi)$, qui est le même point que $(r, \theta)$. Après $\theta = \pi$, la courbe repasse sur elle-même. Sur $[0, \pi[$, il y a $\pi \div \tfrac{\pi}{k} = k$ intervalles : $k$ pétales.

Si $k$ est pair. Cette fois $\cos(k\theta + k\pi) = \cos(k\theta)$ : le point obtenu pour $\theta + \pi$ est le symétrique du point obtenu pour $\theta$ par rapport au centre. Ce sont de nouveaux pétales, et il faut un tour complet, $[0, 2\pi[$, pour refermer la courbe. On compte $2\pi \div \tfrac{\pi}{k} = 2k$ intervalles : $2k$ pétales.

Dans les deux cas, les pointes des pétales sont dans des directions toutes différentes (les multiples de $\tfrac{2\pi}{k}$ si $k$ est impair, de $\tfrac{\pi}{k}$ si $k$ est pair) : aucun pétale n'est compté deux fois.

Le même raisonnement s'étend à $k = \tfrac{p}{q}$ : en remplaçant $\theta$ par $\theta + q\pi$, $r$ est multiplié par $(-1)^p$ et la direction tourne de $q\pi$. Si $p$ et $q$ sont impairs, les deux changements de signe se compensent et la courbe se referme après $q\pi$ ; sinon, il faut aller jusqu'à $2q\pi$. Le nombre de boucles s'obtient en divisant cette durée par l'écart $\tfrac{q\pi}{p}$ entre deux zéros.

L'aire se calcule avec la formule des aires polaires, $\tfrac{1}{2}\int r^2\, d\theta$. Comme la moyenne de $\cos^2$ vaut $\tfrac{1}{2}$, on trouve $\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} \times \pi = \tfrac{\pi}{4}$ sur $[0, \pi]$ pour $k$ impair, et $\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} \times 2\pi = \tfrac{\pi}{2}$ sur $[0, 2\pi]$ pour $k$ pair.

Un peu d'histoire

Les rosaces portent le nom de Guido Grandi (1671-1742), moine camaldule et professeur de mathématiques à l'université de Pise. Selon ses biographes, il décrit ces courbes dès décembre 1713, dans une lettre à Leibniz. Il les publie une dizaine d'années plus tard dans les Philosophical Transactions de la Royal Society, puis les développe dans un livre paru en 1728, Flores geometrici. Il les appelait rhodonea, d'après le mot grec qui signifie « rose ». On dit encore parfois « rhodonées ».

Ce que montre l'affiche

Le dessin est calculé par un programme écrit pour l'atelier, à partir de la formule elle-même. Il présente neuf rosaces disposées en trois rangées de trois, pour $k = \tfrac{1}{2}$, $2$, $3$, $\tfrac{2}{3}$, $5$, $\tfrac{4}{3}$, $\tfrac{3}{2}$, $\tfrac{7}{3}$ et $\tfrac{7}{4}$, chacune avec sa valeur de $k$ écrite dessous. Pour chaque rosace, le programme fait varier $\theta$ sur toute la durée nécessaire pour la refermer ($q\pi$ ou $2q\pi$). On y compte respectivement 2, 4, 3, 4, 5, 8, 6, 7 et 14 boucles. L'affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La cardioïde : une autre courbe polaire, en forme de cœur.
• La courbe papillon : une courbe polaire plus complexe, qui mêle cosinus et exponentielle.
• La série de Fourier : les fonctions $\cos(k\theta)$ y servent de briques pour construire des fonctions périodiques.