Le théorème fondamental de l’analyse

Ce que dit la formule

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$, et $F$ une primitive de $f$ sur cet intervalle, c’est-à-dire une fonction dérivable telle que $F'(x) = f(x)$ pour tout $x$ de $[a, b]$. Alors :

• $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ est l’intégrale de $f$ entre $a$ et $b$. Pour une fonction positive, c’est l’aire comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites verticales $x = a$ et $x = b$ ; les parties où $f$ est négative comptent négativement.
• Le signe $\int$ est un S allongé, pour « somme », et $\mathrm{d}x$ rappelle la largeur infiniment petite des tranches que l’on additionne.
• $F$ est une primitive de $f$ : sa dérivée est $f$. Une fonction a une infinité de primitives, qui diffèrent d’une constante, et la différence $F(b) - F(a)$ ne dépend pas de celle que l’on choisit.
• On note souvent $F(b) - F(a) = \big[F(x)\big]_a^b$.

Le théorème a une seconde partie, qui dit pourquoi les primitives existent : si $f$ est continue sur $[a, b]$, la fonction

(l’aire accumulée depuis $a$) est dérivable et $G'(x) = f(x)$. Autrement dit, toute fonction continue a une primitive, et la dérivée de l’aire est la hauteur de la courbe.

La continuité compte : pour une fonction « en marche d’escalier », qui vaut 0 avant 0 et 1 après, l’aire accumulée $G$ a une pente 0 à gauche de 0 et une pente 1 à droite. Elle n’est pas dérivable en 0, et la fonction en marche n’a pas de primitive sur un intervalle contenant 0.

Un exemple

Calculons l’aire sous une arche de sinusoïde, de $0$ à $\pi$. Une primitive de $\sin$ est $F(x) = -\cos x$, puisque la dérivée de $-\cos$ est $\sin$. Donc :

L’aire de l’arche vaut exactement 2.

On peut approcher cette même aire sans primitive, par des sommes de Riemann : on découpe $[0, \pi]$ en $n$ bandes de même largeur $\frac{\pi}{n}$ et l’on remplace chaque bande par un rectangle dont la hauteur est la valeur de $\sin$ au milieu de la bande. La somme des aires des rectangles vaut environ :

• $2{,}0523$ avec 4 rectangles ;
• $2{,}0129$ avec 8 rectangles ;
• $2{,}0008$ avec 32 rectangles ;
• $2{,}0000008$ avec 1 000 rectangles.

Elle tend vers 2, la valeur donnée par la primitive. Avec la hauteur prise au bord gauche de chaque bande, on obtient environ $1{,}8961$, $1{,}9742$ et $1{,}9983$ : les sommes montent vers la même limite.

Autre exemple : $\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}$, environ $2{,}6666$, avec la primitive $F(x) = \frac{x^3}{3}$.

Pourquoi c’est vrai

La démonstration se fait en deux temps, et elle est accessible.

1. La dérivée de l’aire est la hauteur. Reprenons $G(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$. Pour $h > 0$ petit, $G(x + h) - G(x)$ est l’aire d’une bande étroite de largeur $h$, entre $x$ et $x + h$. Cette bande est comprise entre deux rectangles de largeur $h$ : l’un de hauteur $m_h$, le minimum de $f$ sur $[x, x + h]$, l’autre de hauteur $M_h$, son maximum. Donc

Comme $f$ est continue, $m_h$ et $M_h$ tendent tous deux vers $f(x)$ quand $h$ tend vers 0. Le taux d’accroissement, coincé entre eux, tend aussi vers $f(x)$ (le cas $h < 0$ se traite de la même façon). Ainsi $G'(x) = f(x)$ : $G$ est une primitive de $f$.

2. Toutes les primitives donnent le même résultat. Si $F$ est une autre primitive, la fonction $F - G$ a une dérivée nulle sur l’intervalle ; elle est donc constante (c’est une conséquence du théorème des accroissements finis). Il existe un nombre $C$ tel que $F(x) = G(x) + C$, d’où

C’est toute la formule. Pour l’arche de sinus, $G(x) = \int_0^x \sin t\,\mathrm{d}t = 1 - \cos x$ : c’est la primitive $-\cos x$ décalée de la constante 1.

Un peu d’histoire

Calculer des aires et tracer des tangentes ont longtemps été deux problèmes séparés. Au XVIIe siècle, James Gregory publie une première forme du théorème, très géométrique, et Isaac Barrow en donne une démonstration plus générale. Son élève Isaac Newton, puis Gottfried Wilhelm Leibniz, en font le cœur du calcul infinitésimal ; les notations $\int$ et $\mathrm{d}x$ viennent de Leibniz.

Au XIXe siècle, Augustin-Louis Cauchy puis Bernhard Riemann donnent une définition rigoureuse de l’intégrale, sans recours à l’intuition de l’aire ; les sommes de Riemann de l’exemple portent le nom du second.

Ce que montre l’affiche

Trois fois la même arche de $y = \sin x$, entre $0$ et $\pi$, remplie de rectangles dont la hauteur est prise au milieu de chaque bande : 4 rectangles en haut, 8 au milieu, 32 en bas. À côté de chaque arche, le programme écrit la somme des aires des rectangles, calculée et tronquée : $S_4 \approx 2{,}052$, $S_8 \approx 2{,}012$, $S_{32} \approx 2{,}000$. Sous la formule, la ligne $\int_0^{\pi} \sin x\,\mathrm{d}x = -\cos\pi + \cos 0 = 2$ donne la limite exacte. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La dérivée, l’autre moitié du théorème.
• L’intégrale de Gauss, une intégrale célèbre qui se calcule sans primitive usuelle.
• La série de Fourier, dont les coefficients sont des intégrales.
• Théorème fondamental de l’analyse sur Wikipédia (nouvel onglet) et Fundamental Theorems of Calculus sur Wolfram MathWorld (nouvel onglet), en anglais.