Sinus, cosinus et tangente dans le triangle rectangle

Ce que disent les formules

On considère un triangle rectangle et l’un de ses deux angles aigus, de mesure $\alpha$. Les trois côtés reçoivent un nom par rapport à cet angle :

• l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; c’est le plus long des trois ;
• le côté opposé à $\alpha$ est le côté qui ne touche pas le sommet de l’angle $\alpha$ ;
• le côté adjacent à $\alpha$ est le côté qui touche le sommet de l’angle $\alpha$ et qui n’est pas l’hypoténuse.

En notant simplement « opposé », « adjacent » et « hypoténuse » les longueurs de ces côtés :

• $\sin\alpha$ (sinus), $\cos\alpha$ (cosinus) et $\tan\alpha$ (tangente) sont des nombres sans unité : ce sont des quotients de deux longueurs exprimées dans la même unité.
• Comme l’hypoténuse est le plus long côté, le sinus et le cosinus d’un angle aigu sont strictement compris entre 0 et 1. La tangente, elle, peut prendre n’importe quelle valeur strictement positive.
• Les mots « opposé » et « adjacent » dépendent de l’angle choisi : le côté opposé à l’un des angles aigus est le côté adjacent à l’autre. Ainsi, $\sin\alpha = \cos(90° - \alpha)$.

Les trois rapports sont liés : $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ et $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Ces définitions ne valent que pour un angle aigu d’un triangle rectangle ; pour un angle quelconque, on utilise le cercle trigonométrique, qui donne les mêmes valeurs entre 0° et 90°.

Un exemple

Calculer une longueur. Une échelle de 5 m est posée sur un sol horizontal, contre un mur vertical ; elle fait un angle de 70° avec le sol. À quelle hauteur touche-t-elle le mur, et à quelle distance du mur est son pied ?

Le mur, le sol et l’échelle forment un triangle rectangle dont l’échelle est l’hypoténuse. Pour l’angle de 70° au pied de l’échelle, la hauteur est le côté opposé et la distance au mur le côté adjacent :

1. $\sin 70° = \frac{\text{hauteur}}{5}$, donc hauteur $= 5 \times \sin 70°$, soit environ 4,698 m (4,698 4… m) ;
2. $\cos 70° = \frac{\text{distance}}{5}$, donc distance $= 5 \times \cos 70°$, soit environ 1,710 m (1,710 1… m).

Contrôle avec le théorème de Pythagore : $4{,}698\,4^2 + 1{,}710\,1^2$ est très proche de $25 = 5^2$, et le calcul exact donne bien 25.

Calculer un angle. Une rampe monte de 1 m sur une distance horizontale de 12 m. Le côté opposé à l’angle d’inclinaison mesure 1 m et le côté adjacent 12 m, donc $\tan\alpha = \frac{1}{12}$. La touche « arctan » (ou $\tan^{-1}$) de la calculatrice, réglée en degrés, donne $\alpha$ environ égal à 4,76° (4,763 6…°). Attention : une calculatrice réglée en radians donnerait un autre nombre pour le même angle.

Pourquoi c’est vrai

Le point délicat n’est pas la définition, mais le fait qu’elle ait un sens : il faut que le rapport ne dépende que de l’angle $\alpha$, et pas du triangle rectangle choisi.

Prenons deux triangles rectangles qui ont un angle aigu de même mesure $\alpha$. Dans un triangle, la somme des angles vaut 180° ; leurs troisièmes angles mesurent donc tous deux $90° - \alpha$. Les deux triangles ont les mêmes angles : ils sont semblables, c’est-à-dire que l’un est un agrandissement (ou une réduction) de l’autre. Toutes les longueurs de l’un s’obtiennent en multipliant celles de l’autre par un même nombre $k$, et un quotient de deux longueurs ne change pas quand on les multiplie toutes deux par $k$. En plaçant les deux triangles l’un dans l’autre, avec le sommet de l’angle $\alpha$ en commun, c’est exactement le théorème de Thalès.

Les deux relations entre les rapports se démontrent en une ligne. D’abord, $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\text{oppos\'e}}{\text{hypot\'enuse}} \times \frac{\text{hypot\'enuse}}{\text{adjacent}} = \frac{\text{oppos\'e}}{\text{adjacent}} = \tan\alpha$. Ensuite, d’après le théorème de Pythagore, $\text{oppos\'e}^2 + \text{adjacent}^2 = \text{hypot\'enuse}^2$ ; en divisant par $\text{hypot\'enuse}^2$, on obtient $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Un peu d’histoire

La trigonométrie est née de l’astronomie. Les savants grecs mesuraient des cordes de cercle plutôt que des côtés de triangles : Hipparque, au IIe siècle av. J.-C., aurait dressé la première table de cordes, et celle de Ptolémée, dans l’Almageste (IIe siècle de notre ère), nous est parvenue.

Le sinus vient de la demi-corde des astronomes indiens, la jyā, utilisée dans des traités de l’époque Gupta comme l’Aryabhatiya. Le mot a transité par l’arabe avant d’être rendu en latin par sinus, à la suite d’une lecture fautive de l’écriture arabe. Les mots tangens et secans ont été introduits par le mathématicien danois Thomas Fincke dans sa Geometria rotundi (1583) : ils décrivent des droites qui « touchent » ou « coupent » un cercle. Le cosinus, abréviation de sinus complementi, apparaît dans le Canon triangulorum d’Edmund Gunter (1620).

Pendant des siècles, ces nombres ont été donnés par des tables, calculées à la main, que l’on consultait pour résoudre des triangles en astronomie, en navigation ou en arpentage. Les calculatrices de poche ont pris le relais dans la seconde moitié du XXe siècle.

Ce que montre l’affiche

Le programme dessine quatre triangles rectangles emboîtés, qui partagent le même angle $\alpha$ et dont les côtés mesurent 3-4-5, 6-8-10, 9-12-15 et 12-16-20. Toutes les longueurs affichées sont calculées à partir des sommets, puis les trois rapports sont formés pour chaque triangle : $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = \frac{9}{15} = \frac{12}{20} = 0{,}6$ pour le sinus, 0,8 pour le cosinus et 0,75 pour la tangente. Le programme vérifie que ces rapports sont égaux avant de les écrire. Comme tous les dessins de la boutique, il est calculé par des programmes écrits pour l’atelier, à partir de la formule elle-même, et existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Le cercle trigonométrique, qui étend le sinus et le cosinus à tous les angles.
• Le théorème de Thalès, qui explique pourquoi les rapports ne dépendent que de l’angle.
• Le théorème de Pythagore, d’où vient $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
• L’aire d’un triangle : la hauteur d’un triangle se calcule souvent avec un sinus.