Les identités remarquables

Ce que dit la formule

Pour tous nombres réels (ou complexes) $a$ et $b$ :

• $a$ et $b$ : deux nombres quelconques, positifs, négatifs ou nuls ; ce peuvent aussi être des expressions littérales, comme $2x$ ou $x + 1$.
• $(a+b)^2$ : le carré d’une somme, c’est-à-dire $(a+b)(a+b)$.
• $(a-b)^2$ : le carré d’une différence.
• $(a+b)(a-b)$ : le produit d’une somme par la différence des deux mêmes termes.
• $2ab$ : le double produit, deux fois le produit des deux termes.

Lues de gauche à droite, ces égalités servent à développer ; lues de droite à gauche, à factoriser. La troisième s’énonce souvent ainsi : une différence de deux carrés est le produit de la somme par la différence.

L’erreur à éviter. Le carré d’une somme n’est pas la somme des carrés : $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ seulement si $ab = 0$. Avec $a = b = 1$, on trouve $(1+1)^2 = 4$ et non $1^2 + 1^2 = 2$. Le terme $2ab$ ne doit jamais être oublié.

Une condition cachée. Les démonstrations utilisent le fait que $ab = ba$. C’est toujours vrai pour les nombres, mais pas pour les matrices : pour deux matrices $A$ et $B$ telles que $AB \neq BA$, on a en général $(A+B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2$.

Un exemple

Calcul mental. Les identités transforment un calcul difficile en calcul facile.

1. $103^2 = (100 + 3)^2 = 10\,000 + 2 \times 100 \times 3 + 9 = 10\,000 + 600 + 9 = 10\,609$.
2. $99^2 = (100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801$.
3. $102 \times 98 = (100 + 2)(100 - 2) = 10\,000 - 4 = 9\,996$.

Développement. Avec $a = 2x$ et $b = 5$ : $(2x + 5)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 5 + 5^2 = 4x^2 + 20x + 25$. Vérification pour $x = 3$ : à gauche $11^2 = 121$, à droite $36 + 60 + 25 = 121$.

Factorisation. On reconnaît $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$, et $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = (x + 3)^2$. La première factorisation permet par exemple de résoudre $x^2 - 9 = 0$ : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul, donc $x = 3$ ou $x = -3$.

Pourquoi c’est vrai

Par le calcul. On développe en distribuant chaque terme de la première parenthèse sur la seconde, puis on regroupe en utilisant $ba = ab$ :

• $(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ;
• $(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ;
• $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$, car $-ab + ba = 0$.

La deuxième identité découle aussi de la première en remplaçant $b$ par $-b$.

Par les aires, quand $a$ et $b$ sont des longueurs positives (avec $a > b$ pour les deux dernières). Un carré de côté $a + b$ se découpe en un carré de côté $a$, un carré de côté $b$ et deux rectangles de côtés $a$ et $b$ : c’est la première identité. Pour la troisième, on retire d’un carré de côté $a$ un carré de côté $b$ placé dans un coin ; la figure en forme de L qui reste a pour aire $a^2 - b^2$. En la coupant en deux rectangles et en déplaçant l’un d’eux, on obtient un rectangle de côtés $a + b$ et $a - b$. Ces dessins sont des démonstrations pour les longueurs positives ; le calcul algébrique ci-dessus, lui, vaut pour tous les nombres.

Les programmes de l’atelier vérifient les trois égalités sur 10 000 couples de réels tirés au hasard, en calcul exact sur 10 000 couples d’entiers de 40 chiffres au plus, et sur 5 000 couples de nombres complexes ; ils comptent aussi les carreaux du dessin de l’affiche.

Un peu d’histoire

Les identités remarquables ont d’abord été énoncées sous forme géométrique. Le livre II des Éléments d’Euclide (vers 300 avant notre ère) en contient des versions exprimées avec des carrés et des rectangles construits sur des segments : la proposition 4 dit que le carré construit sur un segment coupé en deux parties égale les carrés construits sur les deux parties, plus deux fois le rectangle formé par ces parties, ce qui est la première identité. Les propositions 5 et 7 correspondent aux deux autres. Selon les historiens, ces égalités étaient sans doute déjà utilisées auparavant, notamment par les scribes babyloniens, pour résoudre des problèmes que l’on écrirait aujourd’hui comme des équations du second degré.

L’écriture avec des lettres et des exposants n’est apparue que bien plus tard, avec l’algèbre symbolique des XVIe et XVIIe siècles. L’expression « identités remarquables » est celle de l’enseignement français ; on parle aussi de « produits remarquables ».

Ce que montre l’affiche

Le dessin lit les trois identités comme des aires, avec $a = 5$ et $b = 2$ carreaux. À gauche, le carré de côté $a + b$ est découpé en $a^2$, $b^2$ et deux rectangles $ab$ : $7^2 = 25 + 2 \times 10 + 4$. Au centre, le carré de côté $a - b$ reste quand on retire d’un carré de côté $a$ deux bandes $a \times b$, tracées en pointillés, qui se chevauchent sur un carré $b \times b$ : on retire deux fois ce petit carré, d’où le $+ b^2$. À droite, la figure en L d’aire $a^2 - b^2$ est recomposée en rectangle $7 \times 3$ en déplaçant un seul morceau. Les carreaux sont comptés par les programmes de l’atelier, et l’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La formule du binôme de Newton, qui généralise la première identité à $(a + b)^n$.
• L’équation du second degré, dont la résolution repose sur la première identité.
• Le théorème de Pythagore, autre égalité entre aires de carrés.
• Le triangle de Pascal, qui donne les coefficients 1, 2, 1 de $(a+b)^2$ et ceux des puissances suivantes.

Sources : Identité remarquable (Wikipédia) (nouvel onglet), Difference of two squares (Wikipedia) (nouvel onglet), Difference of Squares (MathWorld) (nouvel onglet), Euclide, Éléments, livre II, proposition 4 (nouvel onglet), proposition 5 (nouvel onglet) et proposition 7 (nouvel onglet) (D. E. Joyce, Clark University).