Les équations de Maxwell

Ce que dit la formule

Voici les équations de Maxwell sous leur forme locale (valable en chaque point et à chaque instant), dans le vide et en unités SI, les densités $\rho$ et $\mathbf{J}$ comptant toutes les charges et tous les courants présents :

Elles se lisent ainsi :

1. Maxwell-Gauss (en haut à gauche) : les charges électriques sont les sources du champ électrique ; ses lignes partent des charges positives et aboutissent aux charges négatives.
2. Maxwell-flux (en bas à gauche) : le champ magnétique n’a pas de source ponctuelle ; il n’existe pas de « charge magnétique » isolée.
3. Maxwell-Faraday (en haut à droite) : un champ magnétique qui varie crée un champ électrique tourbillonnant. C’est l’induction, qui fait fonctionner alternateurs et transformateurs.
4. Maxwell-Ampère (en bas à droite) : un courant, mais aussi un champ électrique qui varie, crée un champ magnétique tourbillonnant.

Les symboles :

• $\mathbf{E}$ : le champ électrique, en volts par mètre ; $\mathbf{B}$ : le champ magnétique, en teslas. Les caractères gras signalent des vecteurs.
• $\rho$ : la densité de charge, en coulombs par mètre cube ; $\mathbf{J}$ : la densité de courant, en ampères par mètre carré.
• $\varepsilon_0$ : la permittivité du vide, environ $8{,}854\,187\,8 \times 10^{-12}$ F/m ; $\mu_0$ : la perméabilité du vide, environ $1{,}256\,637\,06 \times 10^{-6}$ N/A² (valeurs CODATA 2022 publiées par le NIST). Depuis la réforme du SI de 2019, $\mu_0$ est une constante mesurée, très proche de $4\pi \times 10^{-7}$ N/A², et $\varepsilon_0 = 1/(\mu_0 c^2)$.
• $\nabla \cdot$ : la divergence, qui mesure à quel point un champ « jaillit » d’un point ; $\nabla \times$ : le rotationnel, qui mesure à quel point il tourne autour d’un point.
• $\frac{\partial}{\partial t}$ : la dérivée par rapport au temps.

Pour savoir comment ces champs agissent sur une charge $q$ de vitesse $\mathbf{v}$, on ajoute la force de Lorentz : $\mathbf{F} = q\,(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$. Dans la matière, on utilise souvent une forme équivalente avec deux champs auxiliaires, $\mathbf{D}$ et $\mathbf{H}$.

Un exemple

La vitesse de la lumière. Loin de toute charge et de tout courant ($\rho = 0$, $\mathbf{J} = 0$), les équations prédisent des ondes qui se propagent à la vitesse $\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$. Avec les valeurs CODATA 2022 :

C’est la vitesse de la lumière, $c = 299\,792\,458$ m/s, à la précision des constantes près. Aujourd’hui, le calcul est une vérification de cohérence, puisque $\varepsilon_0$ est déduite de $\mu_0$ et de $c$. Au temps de Maxwell, au contraire, les deux constantes venaient de mesures électriques et magnétiques indépendantes de toute optique : c’est ce qui a fait de la coïncidence une découverte.

Le champ magnétique d’une onde lumineuse. Dans une onde plane dans le vide, les champs sont perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation, et leurs amplitudes vérifient $B = E / c$. Pour un champ électrique de 100 V/m, le champ magnétique vaut environ $3{,}33 \times 10^{-7}$ T, soit environ 0,33 microtesla.

Pourquoi c’est vrai

Ces équations ne se démontrent pas : elles résument des lois établies par l’expérience (Coulomb, Ampère, Faraday), complétées par Maxwell. Deux calculs courts montrent pourquoi son ajout était nécessaire et ce qu’il entraîne.

Le terme de Maxwell. La charge électrique se conserve : $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0$. Or la divergence d’un rotationnel est toujours nulle. Sans le terme en $\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$, la loi d’Ampère $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ imposerait donc $\nabla \cdot \mathbf{J} = 0$, ce qui est faux quand un condensateur se charge. Avec le terme ajouté, la divergence de la quatrième équation donne $0 = \mu_0 \left(\nabla \cdot \mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \nabla \cdot \mathbf{E}\right) = \mu_0 \left(\nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t}\right)$, d’après la première équation : la conservation de la charge est respectée.

L’équation des ondes. Dans le vide, prenons le rotationnel de l’équation de Faraday. On utilise l’identité $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}$, avec $\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$, puis l’équation d’Ampère avec $\mathbf{J} = 0$ :

C’est l’équation d’une onde de vitesse $\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$. Le même calcul vaut pour $\mathbf{B}$.

Un peu d’histoire

Les ingrédients viennent de plusieurs expérimentateurs : la loi de Coulomb (1785), la découverte par Ørsted qu’un courant dévie une boussole (1820), les travaux d’Ampère dans les années 1820, l’induction découverte par Faraday (1831).

James Clerk Maxwell (1831-1879) les réunit dans une théorie mathématique. Dans On Physical Lines of Force (1861-1862), il introduit le terme qui porte son nom et remarque que la vitesse calculée pour ses ondes est très proche de celle de la lumière mesurée par Fizeau ; il en déduit que la lumière est, selon toute vraisemblance, une onde de même nature. A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (1865) puis le Treatise on Electricity and Magnetism (1873) exposent la théorie complète, sous la forme d’une vingtaine d’équations écrites composante par composante.

La forme à quatre équations vectorielles de l’affiche n’est pas de Maxwell lui-même. On la doit principalement à Oliver Heaviside, à partir de 1884, alors que Josiah Willard Gibbs mettait au point de son côté le calcul vectoriel moderne ; Heinrich Hertz travaillait dans la même direction. À la fin des années 1880, Hertz produit et détecte en laboratoire les ondes prédites par la théorie.

Ce que montre l’affiche

Le dessin représente une onde électromagnétique plane, vue en perspective, sur deux longueurs d’onde et demie. Le champ électrique oscille dans un plan, le champ magnétique dans le plan perpendiculaire ; les deux sont tracés en sinusoïde avec, à intervalles réguliers, les vecteurs qui les composent. Ils vibrent en phase, perpendiculaires l’un à l’autre et à la direction de propagation. Le programme a vérifié que cette onde satisfait les quatre équations dans le vide. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• E = mc² : la relativité restreinte est née de l’étude de ces équations.
• La loi de Planck, qui décrit la lumière émise par un corps chaud.
• Les équations d’Einstein, l’autre grande théorie des champs.
• La transformée de Fourier, qui décompose toute onde en ondes planes.

Sources : Équations de Maxwell (Wikipédia) (nouvel onglet), Maxwell’s equations (Wikipedia) (nouvel onglet), History of Maxwell’s equations (Wikipedia) (nouvel onglet), Feynman Lectures, vol. II, chap. 18 (nouvel onglet), μ₀ (NIST) (nouvel onglet), ε₀ (NIST) (nouvel onglet).