La force de Lorentz

Ce que dit la formule

Une particule de charge $q$, qui se déplace à la vitesse $\vec{v}$ dans un champ électrique $\vec{E}$ et un champ magnétique $\vec{B}$, subit la force

• $\vec{F}$ : la force, en newtons (N).
• $q$ : la charge de la particule, en coulombs (C), avec son signe (négative pour un électron).
• $\vec{E}$ : le champ électrique, en volts par mètre (V/m).
• $\vec{v}$ : la vitesse de la particule, en mètres par seconde, mesurée dans le référentiel où l’on mesure $\vec{E}$ et $\vec{B}$.
• $\vec{B}$ : le champ magnétique, en teslas (T).
• $\times$ : le produit vectoriel.

La formule vaut pour une particule chargée assimilée à un point, en unités SI. Elle reste valable en relativité restreinte, à condition d’écrire la loi du mouvement avec la quantité de mouvement relativiste. Elle ne décrit pas les effets quantiques, comme l’action du champ magnétique sur le spin.

La partie électrique $q\vec{E}$ est dirigée comme $\vec{E}$ pour une charge positive, en sens contraire pour une charge négative. Pour une charge immobile, c’est la seule qui reste : on retrouve la loi de Coulomb.

La partie magnétique $q\,\vec{v} \times \vec{B}$ est perpendiculaire à la fois à $\vec{v}$ et à $\vec{B}$. Son intensité vaut $|q|\,v\,B \sin\alpha$, où $\alpha$ est l’angle entre $\vec{v}$ et $\vec{B}$ : elle est nulle si la charge se déplace le long du champ, maximale si elle le traverse à angle droit. Son sens se trouve avec la règle de la main droite : le pouce selon $\vec{v}$, l’index selon $\vec{B}$, le majeur donne le sens de $\vec{v} \times \vec{B}$, donc de la force si $q > 0$ (sens contraire si $q < 0$). L’ordre compte : $\vec{B} \times \vec{v}$ donnerait la force opposée.

Un exemple

Un proton dans un champ magnétique. Un proton ($q = e = 1{,}602\,176\,634 \times 10^{-19}$ C, masse $m_p \approx 1{,}672\,621\,925\,95 \times 10^{-27}$ kg) entre à $v = 10^6$ m/s, perpendiculairement à un champ $B = 0{,}5$ T, sans champ électrique.

• La force vaut $F = e\,v\,B \approx 8{,}010 \times 10^{-14}$ N.
• Elle est toujours perpendiculaire à la vitesse : le proton décrit un cercle. En écrivant que cette force fournit l’accélération centripète, $e v B = m_p v^2 / r$, on trouve le rayon $r = \frac{m_p v}{eB} \approx 0{,}020\,87$ m, soit environ 2,08 cm.
• Il fait un tour en $T = \frac{2\pi m_p}{eB} \approx 1{,}311 \times 10^{-7}$ s, soit environ 7,622 millions de tours par seconde.

Ce temps de tour ne dépend pas de la vitesse (tant qu’elle reste petite devant celle de la lumière) : un proton plus rapide décrit un cercle plus grand, dans le même temps. C’est le principe du cyclotron. Pour un électron, la fréquence de rotation vaut environ 27,99 milliards de tours par seconde par tesla.

Champs croisés. Si l’on ajoute un champ électrique $E = 1\,000$ V/m perpendiculaire à un champ $B = 0{,}01$ T, toute particule chargée finit par avancer en moyenne à la vitesse $E/B = 100\,000$ m/s, dans la direction de $\vec{E} \times \vec{B}$, quels que soient sa charge et sa masse.

Pourquoi c’est vrai

La force de Lorentz ne se démontre pas à partir de lois plus simples : avec les équations de Maxwell, elle est l’un des fondements de l’électromagnétisme classique, et c’est même elle qui définit les champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ par la force qu’ils exercent. On peut en revanche en tirer des conséquences sûres, que l’expérience confirme.

Le champ magnétique ne travaille pas. La puissance d’une force est $\vec{F} \cdot \vec{v}$. Or $\vec{v} \times \vec{B}$ est perpendiculaire à $\vec{v}$, donc $(\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{v} = 0$. Un champ magnétique seul peut courber la trajectoire, mais ne change jamais la vitesse ni l’énergie cinétique de la particule ; seul le champ électrique le peut.

Le cercle. Dans un champ $\vec{B}$ uniforme, avec une vitesse perpendiculaire au champ, la force a une intensité constante $|q|vB$ et reste perpendiculaire à la vitesse : la trajectoire est un cercle de rayon $r = \frac{mv}{|q|B}$, parcouru en $T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{|q|B}$. Si la vitesse a aussi une composante le long de $\vec{B}$, le cercle s’étire en hélice.

La dérive. Avec $\vec{E}$ perpendiculaire à $\vec{B}$, on se place dans un référentiel qui avance à la vitesse $\vec{u} = \frac{\vec{E} \times \vec{B}}{B^2}$. On calcule $\vec{u} \times \vec{B} = -\vec{E}$, si bien que la force $q(\vec{E} + (\vec{v}' + \vec{u}) \times \vec{B})$ se réduit à $q\,\vec{v}' \times \vec{B}$ : dans ce référentiel, la particule tourne en rond. Vue du laboratoire, elle tourne tout en avançant à la vitesse $E/B$. Partie du repos, elle décrit une cycloïde, la courbe d’un point d’une roue qui roule (ce calcul vaut tant que $E/B$ reste petit devant la vitesse de la lumière).

Un peu d’histoire

Selon Wikipedia, une forme de cette force est déjà contenue, implicitement, dans les équations publiées par James Clerk Maxwell en 1865. En 1881, J. J. Thomson calcule la force magnétique sur une charge en mouvement, mais avec un facteur 1/2 erroné. Oliver Heaviside, qui a introduit l’écriture vectorielle moderne, obtient la forme correcte de la force magnétique en 1889. Hendrik Lorentz donne l’expression complète, partie électrique comprise, en 1895, ce qui explique que la force porte son nom.

Ce que montre l’affiche

Le dessin montre les trajectoires de neuf particules de même charge positive et de même masse, lancées du même point le long de l’axe horizontal, à des vitesses initiales allant de $-E/B$ (vers la gauche) à $3E/B$ (vers la droite), dans un champ électrique dirigé vers le haut et un champ magnétique qui sort de l’affiche. Chaque trajectoire est calculée pas à pas avec la seule force de Lorentz. Les particules lancées moins vite que $E/B$ décrivent des arches au-dessus de l’axe (qui forment des boucles pour celles lancées vers la gauche), la plus épaisse étant la cycloïde de celle partie au repos ; celle lancée exactement à $E/B$ va tout droit ; les plus rapides passent en dessous, et celles lancées au-delà de $2E/B$ font des boucles. Toutes avancent en moyenne à la même vitesse $E/B$ et se retrouvent ensemble, aux points noirs, après chaque période $2\pi m/(qB)$. Le dessin est calculé par des programmes écrits pour l’atelier, à partir de la formule elle-même ; l’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La loi de Coulomb, la partie électrique pour des charges immobiles.
• Les équations de Maxwell, qui disent comment les champs sont produits.
• La deuxième loi de Newton, qui transforme la force en mouvement.

Sources : Force de Lorentz (Wikipédia) (nouvel onglet), Lorentz force (Wikipedia) (nouvel onglet), Guiding center (Wikipedia) (nouvel onglet), The Feynman Lectures on Physics, vol. II, chap. 1 (nouvel onglet), rapport e/mₑ (NIST) (nouvel onglet), masse du proton (NIST) (nouvel onglet).