La relativité restreinte et la dilatation du temps

Ce que dit la formule

La relativité restreinte repose sur deux principes : les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels galiléens (ceux où un objet sans force qui le pousse avance en ligne droite à vitesse constante), et la vitesse de la lumière dans le vide, $c = 299\,792\,458$ m/s, y est la même pour tous. Elle en tire une conséquence surprenante sur l’écoulement du temps :

• $v$ : la vitesse d’une horloge par rapport à un observateur galiléen, constante et inférieure à $c$.
• $c$ : la vitesse de la lumière dans le vide.
• $\gamma$ : le facteur de Lorentz, un nombre sans unité, égal à 1 à l’arrêt et toujours supérieur à 1 dès que $v > 0$.
• $\Delta\tau$ : le temps propre, la durée mesurée par l’horloge en mouvement elle-même (par exemple entre deux de ses tic-tac).
• $\Delta t$ : la durée qui sépare ces deux mêmes événements pour l’observateur, mesurée avec ses propres horloges, immobiles et synchronisées.

Comme $\gamma \geq 1$, on a $\Delta t \geq \Delta\tau$ : vue de l’observateur, l’horloge en mouvement retarde. C’est la dilatation du temps. L’effet est réciproque : chacun des deux observateurs voit les horloges de l’autre ralentir. Il n’y a pas de contradiction, car ils ne comparent pas les mêmes paires d’événements.

Le facteur $\gamma$ apparaît partout en relativité restreinte : dans la contraction des longueurs, dans la quantité de mouvement $\gamma m v$ et dans l’énergie $\gamma mc^2$, dont l’énergie au repos de E = mc² est le cas $v = 0$.

Un exemple

Quelques valeurs. Pour $v = 0{,}6\,c$, $\gamma = 1/\sqrt{0{,}64} = 1{,}25$ exactement ; pour $v = 0{,}8\,c$, $\gamma = 5/3$ ; pour $v = 0{,}9\,c$, $\gamma \approx 2{,}294$ ; pour $v = 0{,}99\,c$, $\gamma \approx 7{,}08$. Près de $c$, $\gamma$ croît sans limite.

Les muons des rayons cosmiques. Les muons sont des particules instables produites dans la haute atmosphère par les rayons cosmiques. Au repos, leur durée de vie moyenne vaut environ $\tau = 2{,}197$ microsecondes. Prenons un muon lancé à $v = 0{,}995\,c$ :

Sans dilatation du temps, il parcourrait en moyenne $v\tau \approx 0{,}995 \times 299\,792\,458 \times 2{,}197 \times 10^{-6}$, soit environ 655 m, avant de se désintégrer. Mais pour un observateur au sol, sa durée de vie est allongée à $\gamma\tau$, environ 21,99 microsecondes, et son parcours moyen atteint environ 6,56 km. C’est ce qui explique qu’on détecte au niveau de la mer beaucoup plus de muons que la mécanique classique ne le permettrait.

Les satellites GPS. Un satellite GPS fait le tour de la Terre en un demi-jour sidéral, environ 11 h 58 min. Sa vitesse est alors d’environ 3,87 km/s. Avec $\gamma - 1 \approx v^2/(2c^2) \approx 8{,}34 \times 10^{-11}$, son horloge retarde, du seul fait de sa vitesse, d’environ 7,2 microsecondes par jour. La gravitation, plus faible en altitude, la fait au contraire avancer d’environ 45,8 microsecondes par jour (un effet de relativité générale) : au total, les horloges des satellites avancent d’environ 38,6 microsecondes par jour, un écart dont le système tient compte.

Pourquoi c’est vrai

La démonstration par l’horloge de lumière. Imaginons une horloge faite de deux miroirs parallèles, distants de $L$, entre lesquels un éclair de lumière fait des allers-retours. Pour quelqu’un qui voyage avec l’horloge, un aller simple dure $\Delta\tau = L/c$.

Pour un observateur qui voit l’horloge passer à la vitesse $v$, perpendiculairement à l’axe des miroirs, l’éclair suit une trajectoire oblique : pendant la durée $\Delta t$ d’un aller, les miroirs avancent de $v\,\Delta t$. La lumière parcourt donc l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés sont $L$ et $v\,\Delta t$. Comme la lumière va aussi à la vitesse $c$ pour cet observateur (c’est le second principe), le théorème de Pythagore donne

d’où $\Delta t^2 \left(1 - v^2/c^2\right) = \Delta\tau^2$, c’est-à-dire $\Delta t = \gamma\,\Delta\tau$. Le résultat ne dépend pas du mécanisme de l’horloge : sinon, on pourrait distinguer les référentiels en comparant deux horloges différentes, ce que le premier principe interdit.

L’invariant. Plus généralement, les transformations de Lorentz, qui font passer d’un référentiel galiléen à un autre, conservent la quantité $c^2 t^2 - x^2$. Pour une horloge partie de l’origine, elle vaut $c^2 \tau^2$ au moment où l’horloge affiche $\tau$ : tous les événements « l’horloge affiche $\tau$ », quelle que soit sa vitesse, sont sur l’hyperbole $c^2 t^2 - x^2 = c^2 \tau^2$. La transformation de Galilée de la mécanique classique ne conserve pas cette quantité.

Aux vitesses courantes, $\gamma \approx 1 + \frac{v^2}{2c^2}$ : pour un avion à 300 m/s, $\gamma - 1$ vaut environ $5 \times 10^{-13}$, ce qui explique qu’on ne s’en aperçoive pas.

Un peu d’histoire

À la fin du XIXe siècle, les équations de l’électromagnétisme de Maxwell posent un problème : elles prédisent une vitesse de la lumière fixée, sans dire par rapport à quoi. Pour l’expliquer, plusieurs physiciens introduisent des transformations entre référentiels qui modifient le temps. Hendrik Lorentz les utilise dans une série d’articles parus de 1892 à 1904, Joseph Larmor est le premier à écrire explicitement que l’échelle du temps est allongée, et Henri Poincaré, en 1905, montre qu’elles forment un groupe et leur donne le nom de Lorentz.

En 1905, Albert Einstein publie dans les Annalen der Physik l’article Zur Elektrodynamik bewegter Körper (« Sur l’électrodynamique des corps en mouvement »), reçu le 30 juin et paru le 26 septembre. Il y déduit ces transformations de deux principes seulement, sans recourir à un éther, et en tire le ralentissement des horloges en mouvement. En 1907-1908, Hermann Minkowski donne à la théorie sa forme géométrique d’espace-temps, celle du dessin de l’affiche.

La dilatation du temps a été mesurée de nombreuses fois. En 1940-1941, Bruno Rossi et David Hall l’observent sur les muons cosmiques. Dans une expérience publiée en 1963, David Frisch et James Smith comparent le nombre de muons détectés au sommet du mont Washington et au niveau de la mer : ils mesurent un facteur de dilatation d’environ 8,8 ± 0,8, en accord avec la prédiction. En 1977, au CERN, des muons tournant dans un anneau de stockage vivent bien plus longtemps qu’au repos, comme prévu.

Ce que montre l’affiche

Le dessin est un diagramme d’espace-temps : la position $x$ à l’horizontale, le temps $ct$ à la verticale, et le cône de lumière en pointillés. Des horloges partent toutes ensemble de l’origine à des vitesses de 0 ; 0,3 ; 0,6 ; 0,8 et 0,9 fois $c$, vers la gauche et vers la droite. Chaque point marque une unité de leur temps propre, placé au temps $t = \gamma\tau$ calculé par la formule : plus l’horloge est rapide, plus ses points s’espacent. Les points de même rang se rangent sur les hyperboles $c^2 t^2 - x^2 = c^2 \tau^2$ tracées en fond. Le dessin est calculé par des programmes écrits pour l’atelier ; l’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• E = mc², l’énergie de masse, autre conséquence de la relativité restreinte.
• La vitesse de la lumière, la constante $c$ qui fixe la limite.
• Les équations de Maxwell, d’où la question est partie.
• Les équations d’Einstein, la relativité générale, qui ajoute la gravitation.
• L’effet photoélectrique, l’autre grand article d’Einstein en 1905.

Sources : Relativité restreinte (Wikipédia) (nouvel onglet), Dilatation du temps (Wikipédia) (nouvel onglet), Time dilation (Wikipedia) (nouvel onglet), Lorentz factor (Wikipedia) (nouvel onglet), Time dilation of moving particles (Wikipedia) (nouvel onglet), Lorentz transformation (Wikipedia) (nouvel onglet), Annus mirabilis papers (Wikipedia) (nouvel onglet), Muon (Wikipedia) (nouvel onglet), Error analysis for the Global Positioning System (Wikipedia) (nouvel onglet).