La loi de la gravitation universelle

Ce que dit la formule

Deux corps de masses $m_1$ et $m_2$ s’attirent mutuellement. La force est dirigée selon la droite qui les joint, et chacun subit une force de même intensité $F$, de sens opposé (c’est la troisième loi de Newton). Telle quelle, la formule vaut pour des corps ponctuels, ou pour des corps à symétrie sphérique (une planète en première approximation), à condition de mesurer $r$ entre leurs centres et que les corps ne se chevauchent pas. Pour des formes quelconques, il faut additionner les attractions de tous leurs morceaux.

• $F$ : l’intensité de la force d’attraction, en newtons (N).
• $m_1$, $m_2$ : les masses des deux corps, en kilogrammes (kg).
• $r$ : la distance entre les deux corps (entre leurs centres), en mètres (m).
• $G$ : la constante de gravitation universelle. Sa valeur recommandée par le CODATA (nouvel onglet) est $G = 6{,}674\,30(15) \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3 \cdot kg^{-1} \cdot s^{-2}}$ (valeur de 2018, reconduite en 2022). Les chiffres entre parenthèses donnent l’incertitude sur les deux derniers chiffres : $G$ est l’une des constantes fondamentales les moins précisément connues.

Le mot « universelle » signifie que la même loi s’applique à tous les corps, sur Terre comme dans le ciel. Elle reste une excellente approximation tant que les champs de gravitation sont faibles et les vitesses petites devant celle de la lumière. Au-delà, il faut la relativité générale.

Un exemple

La pesanteur à la surface de la Terre. Prenons la masse de la Terre $M = 5{,}9722 \times 10^{24}$ kg et son rayon moyen $R = 6\,371$ km, valeurs de la fiche de la NASA (nouvel onglet). Un objet de masse $m$ posé au sol subit la force $F = G\,Mm/R^2$, donc une accélération :

On retrouve la valeur moyenne de la pesanteur. Une personne de 70 kg est donc attirée par la Terre avec une force d’environ 687 N : c’est son poids. La valeur mesurée varie un peu d’un lieu à l’autre, car la Terre tourne et n’est pas exactement une sphère.

Entre la Terre et la Lune. Avec la masse de la Lune, $7{,}346 \times 10^{22}$ kg, et une distance moyenne de 384 400 km (fiche NASA (nouvel onglet)), on obtient environ $1{,}98 \times 10^{20}$ N.

Entre deux boules de 1 kg dont les centres sont à 10 cm l’un de l’autre : $F = G \times 1 \times 1 / 0{,}1^2 \approx 6{,}67 \times 10^{-9}$ N, soit quelques milliardièmes de newton. C’est pourquoi l’attraction entre objets ordinaires passe inaperçue.

Pourquoi c’est vrai

Une loi physique ne se démontre pas comme un théorème : elle se vérifie par l’expérience. On peut en revanche montrer qu’elle explique des faits observés indépendamment.

Les lois de Kepler. Pour une orbite circulaire de rayon $r$ parcourue en un temps $T$ autour d’un astre de masse $M$, la force de gravitation fournit l’accélération centripète $v^2/r$, avec $v = 2\pi r / T$ :

Le rapport $T^2/r^3$ est le même pour toutes les planètes d’un même astre : c’est la troisième loi de Kepler. Pour des orbites elliptiques, le même résultat vaut avec le demi-grand axe $a$ à la place de $r$ (en négligeant la masse de la planète devant celle de l’astre). La démonstration complète, qui montre aussi que les orbites sont des coniques, dépasse le cadre de cette page.

Le test de la Lune. La Lune est à environ 60 rayons terrestres (384 400 / 6 371 ≈ 60,3). Si la pesanteur décroît comme $1/r^2$, son accélération vers la Terre doit valoir $g \times (R/d)^2 \approx 0{,}002\,69$ m/s². Or, d’après son orbite (période sidérale de 27,3217 jours), cette accélération vaut $4\pi^2 d / T^2 \approx 0{,}002\,72$ m/s². Les deux valeurs concordent à environ 1 % près ; l’écart vient surtout de ce que la Lune entraîne aussi la Terre et que son orbite n’est pas un cercle parfait.

Un peu d’histoire

Isaac Newton publie la loi en 1687 dans les Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Il y montre que la force qui fait tomber les corps sur Terre est la même que celle qui retient la Lune, et il en déduit les lois de Kepler. L’idée d’une attraction en inverse du carré de la distance circulait déjà : Robert Hooke l’avait proposée, et il a revendiqué une part de la découverte, sans l’avoir établie mathématiquement. L’histoire de la pomme vient de récits recueillis plus tard auprès de Newton ; elle relève de l’anecdote.

Newton n’a pas écrit la formule sous la forme $F = G\,m_1 m_2/r^2$ : il raisonnait en proportions. La première mesure en laboratoire de l’attraction entre deux corps est due à Henry Cavendish, en 1798, avec une balance de torsion. Son article s’intitulait Experiments to determine the density of the Earth : il cherchait la densité moyenne de la Terre et trouva un peu plus de 5,4 fois celle de l’eau. On en déduit une valeur de $G$, mais Cavendish ne l’a pas exprimée ainsi. La notation $G$ s’est imposée à la fin du XIXe siècle (Wikipédia, Gravitational constant (nouvel onglet)).

Ce que montre l’affiche

Le dessin a été calculé pas à pas à partir de cette seule loi. Dix corps partent du même point, perpendiculairement à la direction d’un astre central, avec des vitesses différentes. Celui qui a exactement la vitesse du cercle trace un cercle. Les plus lents décrivent des ellipses dont le départ est le point le plus éloigné de l’astre ; les plus rapides, des ellipses de plus en plus allongées dont le départ est le point le plus proche. Aucun n’atteint la vitesse de libération : chaque orbite se referme et est dessinée sur un tour. Le disque central est l’astre attracteur, le petit point le lieu de départ. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La deuxième loi de Newton, qui transforme la force en mouvement.
• Les équations d’Einstein, qui prolongent la gravitation de Newton.
• La lemniscate de Bernoulli et la spirale logarithmique, d’autres courbes célèbres.