La courbe papillon

Ce que disent les équations

La courbe papillon est une courbe paramétrée : à chaque valeur d'un nombre $t$, le paramètre, les équations associent un point $(x, y)$ du plan. En faisant varier $t$ de $0$ à $12\pi$, le point se déplace et trace la courbe.

• $t$ : le paramètre, un nombre réel compris entre $0$ et $12\pi$ ; les angles sont en radians.
• $(x, y)$ : les coordonnées du point dans un repère orthonormé.
• $(\sin t, \cos t)$ : une direction qui tourne autour de l'origine, un tour complet chaque fois que $t$ augmente de $2\pi$.
• Le facteur entre parenthèses, que l'on peut noter $R(t)$, donne la distance du point à l'origine, avec un signe : quand $R(t)$ est négatif, le point est placé dans la direction opposée.
• $e^{\cos t}$ : l'exponentielle de $\cos t$. Elle varie entre $\tfrac{1}{e}$ (environ $0{,}3678$) et $e$ (environ $2{,}7182$), ce qui rend la courbe plus grande vers le haut que vers le bas.
• $-2\cos 4t$ : un terme qui oscille quatre fois par tour ; il creuse les lobes des ailes.
• $-\sin^5 \tfrac{t}{12}$ : la puissance cinquième de $\sin\tfrac{t}{12}$. Ce terme varie très lentement et reste compris entre $0$ et $1$ sur l'intervalle. Il déforme légèrement chacun des six tours, ce qui donne au dessin ses ailes aux contours multiples.

En coordonnées polaires, la même courbe s'écrit $r = e^{\sin\theta} - 2\cos 4\theta + \sin^5\tfrac{2\theta - \pi}{24}$, avec $\theta = \tfrac{\pi}{2} - t$. Certaines présentations changent le signe du dernier terme dans les équations paramétrées ; on obtient alors une courbe voisine, mais différente.

Un exemple

Calculons quelques points.

• Pour $t = 0$ : $\sin 0 = 0$ et $\cos 0 = 1$, donc $R(0) = e - 2 - 0$, environ $0{,}7182$. Le point est $(0 \; ; 0{,}7182)$ environ.
• Pour $t = \tfrac{\pi}{2}$ : $\sin t = 1$, $\cos t = 0$ et $\cos 2\pi = 1$, donc $R = 1 - 2 - \sin^5\tfrac{\pi}{24}$. Le dernier terme est minuscule (environ $0{,}0000378$), et $R$ vaut environ $-1{,}00003$. Le point est donc $(-1{,}00003 \; ; 0)$ environ : $R$ étant négatif, il est à gauche de l'origine.
• Pour $t = \pi$ : $\sin t = 0$ et $\cos t = -1$, donc $R = \tfrac{1}{e} - 2 - \sin^5\tfrac{\pi}{12}$, environ $-1{,}6332$. Le point est $(0 \; ; 1{,}6332)$ environ.
• Pour $t = 12\pi$ : $\sin 12\pi = 0$, $\cos 12\pi = 1$ et $\sin\pi = 0$. On retrouve $R = e - 2$ et le point de départ.

Sur l'intervalle entier, un calcul numérique montre que la courbe s'étend horizontalement d'environ $-2{,}906$ à $2{,}906$, et verticalement d'environ $-1{,}807$ à $3{,}129$.

Pourquoi elle se referme en 12π

La courbe papillon n'est pas un théorème : c'est une courbe construite pour sa beauté. On peut cependant justifier ses deux traits principaux, la fermeture et la symétrie.

La fermeture. Les fonctions $\sin t$, $\cos t$, $e^{\cos t}$ et $\cos 4t$ reprennent les mêmes valeurs chaque fois que $t$ augmente de $2\pi$. Le dernier terme, lui, change lentement : $\sin\tfrac{t}{12}$ ne revient à sa valeur de départ, $0$, qu'en $t = 12\pi$. C'est pourquoi le point ne revient pas à son départ après chaque tour : en $t = 2\pi, 4\pi, 6\pi, 8\pi, 10\pi$, il passe sur l'axe vertical à des hauteurs d'environ $0{,}687$, $0{,}231$, $-0{,}281$, $0{,}231$ et $0{,}687$. En $t = 12\pi$, toutes les fonctions reprennent leur valeur initiale et la courbe se referme. Comme la dérivée de $\sin^5\tfrac{t}{12}$, égale à $\tfrac{5}{12}\sin^4\tfrac{t}{12}\cos\tfrac{t}{12}$, est nulle en $0$ et en $12\pi$, la courbe se referme sans former d'angle.

La symétrie. Remplaçons $t$ par $12\pi - t$. On a $\sin(12\pi - t) = -\sin t$, tandis que $\cos t$, $\cos 4t$ et $\sin\tfrac{t}{12}$ ne changent pas (car $\sin\left(\pi - \tfrac{t}{12}\right) = \sin\tfrac{t}{12}$). Le point $(x, y)$ devient donc $(-x, y)$ : la courbe est exactement symétrique par rapport à l'axe vertical, comme les deux ailes d'un papillon.

Le rôle du dernier terme. Sans le terme $\sin^5\tfrac{t}{12}$, la parenthèse se réduirait à $e^{\cos t} - 2\cos 4t$, qui reprend les mêmes valeurs tous les $2\pi$ : la courbe se refermerait dès $t = 2\pi$ et l'on obtiendrait un papillon plus simple, tracé une seule fois, déjà symétrique par rapport à l'axe vertical. Le petit terme ajouté décale légèrement chacun des six passages, qui ne se superposent plus : c'est ce qui donne aux ailes leurs contours multiples.

Si l'on prolongeait $t$ au-delà de $12\pi$, le dernier terme changerait de signe et le point tracerait un second papillon, légèrement différent du premier, au lieu de repasser sur le même trait.

Un peu d'histoire

La courbe a été publiée par Temple H. Fay, de l'University of Southern Mississippi, dans une courte note intitulée The Butterfly Curve, parue dans l'American Mathematical Monthly (volume 96, numéro 5, mai 1989, pages 442 et 443). On la rencontre souvent comme exemple pour s'exercer au tracé des courbes paramétrées et polaires, avec une calculatrice graphique ou un logiciel de géométrie.

Les ouvrages de langue anglaise la qualifient parfois de « transcendante », pour la distinguer d'une autre courbe papillon, algébrique celle-là, d'équation polynomiale. Elle n'a aucun rapport avec l'« effet papillon » de la théorie du chaos, qui désigne la sensibilité aux conditions initiales.

Ce que montre l'affiche

Le dessin est calculé par un programme écrit pour l'atelier, à partir des équations elles-mêmes. Le programme trace la courbe entière, de $t = 0$ à $t = 12\pi$, en 36 tronçons successifs. La couleur de chaque tronçon glisse d'une teinte à l'autre puis revient au fil de $t$, ce qui permet de suivre les six passages superposés qui forment les ailes. L'affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• L'attracteur de Lorenz : la figure à laquelle on associe l'« effet papillon », qui elle aussi ressemble à deux ailes.
• Les rosaces de Grandi : d'autres courbes polaires aux pétales réguliers.
• La cardioïde : une courbe polaire plus simple, en forme de cœur.