E = mc², l’énergie de masse

Ce que dit la formule

Dans le cadre de la relativité restreinte, un corps de masse $m$, au repos dans un référentiel galiléen (un référentiel dans lequel le principe d’inertie s’applique), possède l’énergie

• $E$ : l’énergie de masse, ou énergie au repos, en joules (J).
• $m$ : la masse du corps, en kilogrammes. C’est la masse au sens moderne, la même pour tous les observateurs.
• $c$ : la vitesse de la lumière dans le vide, $c = 299\,792\,458$ m/s. Cette valeur est exacte par définition : depuis 1983, c’est elle qui définit le mètre.

La conséquence pratique : lorsqu’un corps au repos gagne ou perd une énergie $\Delta E$ (chaleur, rayonnement, énergie de liaison…), sa masse varie de $\Delta E / c^2$.

Pour un corps en mouvement, à la vitesse $v < c$, l’énergie totale vaut $E = \gamma\, mc^2$ avec $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$. La relation la plus générale relie l’énergie $E$ et la quantité de mouvement $p$ :

Au repos, $p = 0$ et l’on retrouve $E = mc^2$. Pour la lumière, dont les particules (les photons) ont une masse nulle, elle donne $E = pc$.

Un exemple

Un gramme de matière. Avec $m = 10^{-3}$ kg :

Ce nombre est exact, puisque $c$ l’est : environ 89,87 térajoules. Comme 1 kWh vaut 3,6 millions de joules, cela fait environ 24,96 millions de kilowattheures. Libérer intégralement cette énergie supposerait de faire disparaître toute la masse, ce qu’aucune centrale ni aucune arme ne fait.

Une réaction chimique. Par convention, l’explosion d’un kilogramme de TNT libère 4,184 mégajoules. Les produits de l’explosion pèsent donc moins que les réactifs, de $4{,}184 \times 10^{6} / c^2$, soit environ $4{,}655 \times 10^{-11}$ kg, environ 46 nanogrammes : bien trop peu pour être pesé. La formule vaut pour la chimie aussi, mais l’effet y est imperceptible.

Une fission nucléaire. La fission d’un noyau d’uranium 235 libère environ 200 MeV (mégaélectronvolts), soit un peu moins de 0,1 % de l’énergie de masse de l’atome (environ 0,091 %). L’effet est enfin mesurable, mais l’essentiel de la masse reste là.

À petite vitesse. Pour un corps lancé à 30 km/s, $\gamma - 1$ et $\frac{v^2}{2c^2}$ valent tous deux environ $5{,}006\,92 \times 10^{-9}$ : l’énergie de mouvement $(\gamma - 1)\, mc^2$ coïncide avec l’énergie cinétique classique $\frac{1}{2} m v^2$.

Pourquoi c’est vrai

La relation générale découle des définitions. En relativité restreinte, $E = \gamma\, mc^2$ et $p = \gamma\, m v$. Alors

puisque $\gamma^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = 1$. Pour $v$ petit devant $c$, $\gamma \approx 1 + \frac{v^2}{2c^2}$, d’où $E \approx mc^2 + \frac{1}{2} m v^2$ : l’énergie totale est l’énergie de masse plus l’énergie cinétique habituelle.

Pourquoi l’énergie au repos est $mc^2$. La démonstration complète demande la théorie de la relativité ; l’idée de l’argument d’Einstein (1905) est la suivante. Un corps immobile émet deux éclairs lumineux de même énergie dans des directions opposées : il reste immobile. Un second observateur, qui se déplace par rapport à lui, voit les deux éclairs avec des énergies différentes (effet Doppler relativiste). En faisant le bilan d’énergie dans les deux référentiels, Einstein trouve que l’énergie cinétique du corps a diminué exactement comme si sa masse avait baissé de $L/c^2$, où $L$ est l’énergie émise.

Ce que la formule n’explique pas. On lit souvent que E = mc² « explique » la bombe atomique. C’est un raccourci. L’énergie de la fission vient des forces entre les constituants des noyaux ; la formule relie cette énergie à la légère perte de masse qui l’accompagne, sans dire pourquoi la fission a lieu. Le nombre de protons et de neutrons ne change pas : la matière n’est pas « transformée en énergie » en entier.

Un peu d’histoire

En 1905, Albert Einstein publie dans les Annalen der Physik l’article fondateur de la relativité restreinte. Il publie, la même année et dans la même revue, une note de trois pages, Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig ? (« L’inertie d’un corps dépend-elle de son contenu en énergie ? »), reçue par la revue le 27 septembre 1905 et parue en novembre (volume 18, pages 639-641).

L’égalité $E = mc^2$ n’y figure pas sous cette forme. Einstein écrit, en substance, que si un corps cède l’énergie $L$ sous forme de rayonnement, sa masse diminue de $L/V^2$, la lettre $V$ désignant la vitesse de la lumière. Il en conclut que la masse d’un corps mesure son contenu en énergie, et suggère que des corps dont l’énergie varie beaucoup, comme les sels de radium, pourraient permettre un test. Des relations voisines avaient été envisagées avant lui pour le rayonnement, notamment par Henri Poincaré en 1900.

La relation a ensuite été vérifiée de nombreuses fois. Dans les années 1930, la désintégration du lithium bombardé par des protons la confirme à environ 0,5 % près. En 2005, une équipe du MIT et du NIST l’a testée à environ quatre dix-millionièmes près, en comparant des masses d’atomes et l’énergie des rayons gamma émis lors d’une capture de neutron.

Ce que montre l’affiche

Le dessin trace l’énergie totale d’un corps, $\gamma\, mc^2$, en fonction de sa vitesse, de l’arrêt jusqu’à 99,1 % de la vitesse de la lumière. À l’arrêt, la courbe part du point marqué $mc^2$ ; elle monte ensuite de plus en plus vite et s’envole le long de la verticale en pointillés « $v = c$ », car il faudrait une énergie infinie pour atteindre la vitesse de la lumière. Une courbe plus discrète montre, pour comparaison, la prévision classique $mc^2 + \frac{1}{2} m v^2$, qui reste finie. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Les équations d’Einstein, la relativité générale, dix ans plus tard.
• Les équations de Maxwell, d’où vient la vitesse $c$ de la lumière.
• La loi de Planck, l’autre révolution des débuts du XXe siècle.
• La deuxième loi de Newton, que la relativité corrige aux grandes vitesses.

Sources : E=mc2 (Wikipédia) (nouvel onglet), Mass–energy equivalence (Wikipedia) (nouvel onglet), article original d’Einstein (DOI) (nouvel onglet), traduction anglaise de l’article (Fourmilab) (nouvel onglet), constantes fondamentales (NIST) (nouvel onglet), communiqué du MIT sur le test de 2005 (nouvel onglet).