L’inégalité triangulaire

Ce que dit l’inégalité

Pour trois points quelconques $A$, $B$ et $C$ du plan ou de l’espace :

• $AC$ est la distance de $A$ à $C$, le trajet direct.
• $AB + BC$ est la longueur du trajet qui va de $A$ à $C$ en passant par $B$.
• Le symbole $\leq$ se lit « inférieur ou égal à ».

Le cas d’égalité : $AC = AB + BC$ si et seulement si le point $B$ appartient au segment $[AC]$, extrémités comprises. Dès que $B$ sort de ce segment, même en restant sur la droite $(AC)$, l’inégalité est stricte.

L’inégalité est vraie quels que soient les points, y compris lorsqu’ils sont alignés ou confondus : aucun triangle n’est nécessaire, malgré le nom. Elle a plusieurs conséquences et formes équivalentes :

• La forme renversée : $|AB - BC| \leq AC$. Un côté d’un triangle est toujours plus long que la différence des deux autres.
• Construire un triangle : trois longueurs strictement positives $a$, $b$ et $c$ sont les côtés d’un vrai triangle, non aplati, si et seulement si chacune est strictement inférieure à la somme des deux autres. Il suffit de le vérifier pour la plus grande.
• Avec des vecteurs : pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, $\|\vec{u} + \vec{v}\| \leq \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|$, en posant $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{BC}$, dont la somme est $\overrightarrow{AC}$ d’après la relation de Chasles.
• Avec des nombres : pour tous réels $x$ et $y$, $|x + y| \leq |x| + |y|$ ; la même inégalité vaut pour les modules des nombres complexes.

Un exemple

Trois longueurs forment-elles un triangle ? Avec 3 cm, 4 cm et 8 cm, c’est impossible : $3 + 4 = 7$, qui est inférieur à 8. Deux bâtons de 3 cm et de 4 cm fixés aux extrémités d’un bâton de 8 cm ne peuvent pas se rejoindre. Avec 5 cm, 7 cm et 11 cm, c’est possible, car $5 + 7 = 12$ dépasse 11. Avec 4 cm, 7 cm et 11 cm, on obtient tout juste un triangle aplati : $4 + 7 = 11$, et les trois sommets sont alignés.

Un détour mesuré. Dans un repère orthonormé, prenons $A(0\,;\,0)$, $B(3\,;\,4)$ et $C(8\,;\,0)$. Le théorème de Pythagore donne $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ et $BC = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}$, environ 6,40 ; et $AC = 8$. Le détour par $B$ mesure environ 11,40, soit plus que les 8 unités du trajet direct : $8 \leq 5 + \sqrt{41}$.

Pourquoi c’est vrai

Si $B$ est confondu avec $A$ ou avec $C$, l’égalité est évidente. Sinon, notons $\beta$ l’angle en $B$, entre $[BA]$ et $[BC]$. Le théorème d’Al-Kashi s’écrit

Comme un cosinus est toujours supérieur ou égal à $-1$, le dernier terme est au plus $2\,AB \times BC$, donc

Les deux nombres $AC$ et $AB + BC$ étant positifs, on peut prendre les racines carrées : $AC \leq AB + BC$. L’égalité n’a lieu que si $\cos\beta = -1$, c’est-à-dire si l’angle en $B$ est plat : $B$ est alors entre $A$ et $C$, sur le segment. Ce raisonnement vaut aussi lorsque $B$ est sur la droite $(AC)$, avec un angle plat ou nul.

Avec des vecteurs, l’argument est le même : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$, et le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ne dépasse jamais $\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|$ (inégalité de Cauchy-Schwarz).

Pour les nombres réels, il suffit de remarquer que $x + y$ et $-(x + y)$ sont tous deux inférieurs ou égaux à $|x| + |y|$.

Un peu d’histoire

L’inégalité triangulaire figure dans les Éléments d’Euclide (vers 300 av. J.-C.) : la proposition 20 du livre I (nouvel onglet) affirme que, dans tout triangle, deux côtés pris ensemble, quels qu’ils soient, sont plus grands que le troisième. Euclide la démontre à partir de la proposition précédente, selon laquelle le plus grand angle d’un triangle fait face au plus grand côté.

Au début du XXe siècle, elle devient l’une des règles qui définissent une distance en mathématiques. Le Français Maurice Fréchet étudie en 1906 des espaces abstraits munis d’une distance, que l’Allemand Felix Hausdorff appelle en 1914 des espaces métriques. Une distance $d$ doit vérifier $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ : la propriété d’Euclide sert ainsi à mesurer des écarts entre des objets qui ne sont plus des points, comme des fonctions ou des mots.

Ce que montre l’affiche

Les points $A$ et $C$ sont à la distance 4. Le programme trace, autour d’eux, les points $B$ pour lesquels le détour $AB + BC$ vaut 5, 6, 7, 8 ou 10 : chacun de ces ensembles est une ellipse dont $A$ et $C$ sont les foyers, calculée point par point et contrôlée avant d’être dessinée. La somme 4 n’est atteinte que sur le segment $[AC]$, en couleur vive ; un point $B$ placé sur l’ellipse 7, avec $AB = 3$ et $BC = 4$, montre un trajet plus long que le chemin direct. Comme tous les dessins de la boutique, il est calculé par des programmes écrits pour l’atelier, à partir de la formule elle-même, et existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Le théorème d’Al-Kashi, qui donne la démonstration ci-dessus.
• La relation de Chasles : les vecteurs s’ajoutent exactement, les longueurs non.
• Le produit scalaire et l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
• Le théorème de Pythagore, pour calculer les distances dans un repère.