La lemniscate de Bernoulli

Ce que dit la formule

• $x$ et $y$ : les coordonnées d'un point du plan, dans un repère orthonormé.
• $a$ : une longueur strictement positive. La courbe s'étend de $-a$ à $a$ sur l'axe horizontal : $a$ est sa demi-largeur.
• $x^2 + y^2$ : le carré de la distance du point à l'origine $O$.

Les points qui vérifient cette équation forment un huit couché, symétrique par rapport aux deux axes, qui se croise lui-même à l'origine. La courbe a une définition géométrique élégante. Notons $F$ et $F'$ les points $\left(\tfrac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$ et $\left(-\tfrac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$, appelés foyers. La lemniscate est exactement l'ensemble des points $M$ tels que

c'est-à-dire tels que le produit des distances aux deux foyers soit égal au carré de la demi-distance entre les foyers. Pour une ellipse, c'est la somme des distances qui est constante ; ici, c'est le produit.

En coordonnées polaires (distance $r$ à l'origine, angle $\theta$), l'équation devient $r^2 = a^2\cos 2\theta$, qui n'a de solution que lorsque $\cos 2\theta \geq 0$. La courbe passe donc par l'origine dans les directions $\theta = \pm\tfrac{\pi}{4}$ : elle s'y croise elle-même à angle droit, avec pour tangentes les droites $y = x$ et $y = -x$. On peut aussi la parcourir d'un seul trait avec le paramétrage $x = \tfrac{a\cos t}{1 + \sin^2 t}$, $y = \tfrac{a\sin t\cos t}{1 + \sin^2 t}$, pour $t$ allant de $0$ à $2\pi$ ; c'est celui qu'utilise le programme de l'affiche. Chaque boucle a une aire de $\tfrac{a^2}{2}$, donc la lemniscate entière enferme une aire de $a^2$. Sa longueur totale vaut $2\varpi a$, environ $5{,}2441\,a$, où $\varpi$ est la constante de la lemniscate :

Un exemple

Prenons $a = 1$ et cherchons le point de la boucle de droite dans la direction $\theta = \tfrac{\pi}{6}$ (30°). On a $r^2 = \cos\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{1}{2}$, donc $r = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$, environ $0{,}7071$. Le point a pour coordonnées $x = r\cos\tfrac{\pi}{6} = \tfrac{\sqrt{6}}{4}$, environ $0{,}6123$, et $y = r\sin\tfrac{\pi}{6} = \tfrac{\sqrt{2}}{4}$, environ $0{,}3535$.

Vérifions l'équation :

• $x^2 + y^2 = \tfrac{6}{16} + \tfrac{2}{16} = \tfrac{1}{2}$, donc $(x^2 + y^2)^2 = \tfrac{1}{4}$ ;
• $x^2 - y^2 = \tfrac{6}{16} - \tfrac{2}{16} = \tfrac{1}{4}$.

Les deux membres sont égaux. Vérifions aussi la propriété des foyers, situés en $\left(\pm\tfrac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$. Le calcul donne $MF = \tfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$, environ $0{,}3660$, et $MF' = \tfrac{\sqrt{3} + 1}{2}$, environ $1{,}3660$. Leur produit vaut $\tfrac{3 - 1}{4} = \tfrac{1}{2}$, comme annoncé.

Pourquoi c'est vrai

De la définition par les foyers à l'équation. Posons $c = \tfrac{a}{\sqrt{2}}$, de sorte que $2c^2 = a^2$. Pour un point $M(x, y)$, on a $MF^2 = (x - c)^2 + y^2$ et $MF'^2 = (x + c)^2 + y^2$. En écrivant $s = x^2 + y^2 + c^2$, ces deux carrés valent $s - 2cx$ et $s + 2cx$, donc

La condition $MF \times MF' = c^2$ équivaut à $s^2 - 4c^2x^2 = c^4$, car les deux membres sont positifs. En développant $s^2 = (x^2 + y^2)^2 + 2c^2(x^2 + y^2) + c^4$, il reste $(x^2 + y^2)^2 = 2c^2(x^2 - y^2)$, c'est-à-dire l'équation de la lemniscate. Chaque étape est une équivalence : les deux définitions décrivent la même courbe.

Les ovales de Cassini. Si l'on remplace $c^2$ par une autre constante $k^2$ dans la condition $MF \times MF' = k^2$, on obtient les ovales de Cassini. Pour $k < c$, la courbe se compose de deux ovales séparés, un autour de chaque foyer ; pour $k > c$, d'un seul ovale. La lemniscate est le cas de transition $k = c$, où les deux ovales se touchent en $O$.

L'aire. La boucle de droite correspond aux angles $\theta$ compris entre $-\tfrac{\pi}{4}$ et $\tfrac{\pi}{4}$. En coordonnées polaires, l'aire se calcule en additionnant de fines parts de tarte d'aire $\tfrac{1}{2}r^2\, d\theta$ :

Les deux boucles réunies enferment donc une aire de $a^2$, celle d'un carré de côté $a$.

La longueur. En prenant $r$ comme paramètre sur un quart de la courbe, de $O$ jusqu'au point $(a, 0)$, un calcul à partir de $r^2 = a^2\cos 2\theta$ montre que le petit arc vaut $\tfrac{a^2\, dr}{\sqrt{a^4 - r^4}}$. Avec $r = at$, le quart de courbe mesure $a\int_0^1 \tfrac{dt}{\sqrt{1 - t^4}} = \tfrac{\varpi a}{2}$, et la courbe entière $2\varpi a$. Cette intégrale ne s'exprime pas avec les fonctions usuelles : c'est une intégrale elliptique.

Un peu d'histoire

Jacques Bernoulli décrit la courbe en 1694 dans un article des Acta Eruditorum. Il la nomme lemniscus, mot latin qui désigne un ruban. Il ne savait apparemment pas qu'elle était un cas particulier des ovales décrits par l'astronome Jean-Dominique Cassini en 1680.

La longueur de ses arcs a ensuite occupé plusieurs grands mathématiciens. Giulio Carlo Fagnano en étudie les propriétés (ses résultats sont publiés en 1750), puis Leonhard Euler et Carl Friedrich Gauss s'y intéressent ; ces recherches ont conduit à la théorie des fonctions elliptiques. En 1799, Gauss relie la constante de la lemniscate à la moyenne arithmético-géométrique : $\tfrac{\pi}{\varpi}$ est la moyenne arithmético-géométrique de $1$ et $\sqrt{2}$, environ $1{,}1981$. La constante s'écrit aussi $\varpi = \tfrac{\Gamma(1/4)^2}{2\sqrt{2\pi}}$, où $\Gamma$ est la fonction gamma.

Le symbole de l'infini, $\infty$, ressemble à une lemniscate, mais il est plus ancien : on attribue son introduction à John Wallis, en 1655.

Ce que montre l'affiche

Le dessin est calculé par un programme écrit pour l'atelier, à partir de la formule elle-même. Il trace, pour $a = 1$, onze ovales de Cassini voisins, de produit $k^2$ avec $k$ allant de $0{,}5$ à $0{,}96$ : ceux pour lesquels $k$ est inférieur à $\tfrac{1}{\sqrt{2}}$, environ $0{,}7071$, se séparent en deux ovales, les autres n'en forment qu'un. Au milieu, la lemniscate est tracée en trait épais, et les deux foyers sont marqués par des points. L'affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La cardioïde et la spirale logarithmique : deux autres courbes étudiées par les mathématiciens du XVIIe siècle.
• Le ruban de Möbius : un autre « huit » célèbre, mais dans l'espace.
• L'intégrale de Gauss : une autre intégrale célèbre dont la valeur fait apparaître $\pi$.