La loi de Coulomb

Ce que dit la formule

On considère deux charges électriques ponctuelles (ou réparties avec une symétrie sphérique, comme une petite boule chargée), immobiles dans un référentiel galiléen, dans le vide, à la distance $r$ l’une de l’autre. La force exercée par la charge $q_1$ sur la charge $q_2$ est

• $\vec{F}_{1 \to 2}$ : la force subie par $q_2$, en newtons (N).
• $q_1$ et $q_2$ : les deux charges, en coulombs (C), avec leur signe.
• $r$ : la distance entre les deux charges, en mètres.
• $\vec{u}_{1 \to 2}$ : le vecteur de longueur 1 qui pointe de $q_1$ vers $q_2$.
• $\varepsilon_0$ : la permittivité du vide, environ $8{,}854\,187\,818\,8 \times 10^{-12}$ F/m (valeur CODATA 2022). La constante $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ vaut donc environ $8{,}987\,551\,786 \times 10^{9}$ N·m²·C⁻².

Le sens de la force se lit sur le signe. Si $q_1$ et $q_2$ ont le même signe, $q_1 q_2 > 0$ : la force sur $q_2$ est dirigée comme $\vec{u}_{1 \to 2}$, elle éloigne $q_2$ de $q_1$. C’est une répulsion. Si les charges sont de signes contraires, $q_1 q_2 < 0$ : la force est tournée vers $q_1$, c’est une attraction. La force exercée par $q_2$ sur $q_1$ est exactement opposée : $\vec{F}_{2 \to 1} = -\vec{F}_{1 \to 2}$.

L’intensité de la force est $F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\, \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$ : deux fois plus loin, elle est quatre fois plus faible.

Les limites. La loi décrit l’électrostatique : pour des charges en mouvement, il faut ajouter la force magnétique (voir la force de Lorentz) et, en régime variable, revenir aux équations de Maxwell. Dans un milieu matériel, comme l’eau ou un plastique, la force est réduite et $\varepsilon_0$ est remplacé par la permittivité du milieu. Avec plusieurs charges, les forces s’additionnent comme des vecteurs : c’est le principe de superposition.

Un exemple

Deux charges de 1 microcoulomb à 10 cm. Avec $q_1 = q_2 = 10^{-6}$ C et $r = 0{,}1$ m :

C’est à peu près le poids d’un objet d’environ 91,6 grammes, pour des charges minuscules : le coulomb est une très grande unité. Les deux charges étant de même signe, elles se repoussent. À 2 cm au lieu de 10 cm, la distance est divisée par 5 et la force multipliée par 25 : environ 22,4 N.

L’atome d’hydrogène. Le proton et l’électron portent les charges $+e$ et $-e$, avec $e = 1{,}602\,176\,634 \times 10^{-19}$ C exactement. À la distance $a_0 \approx 5{,}291\,772 \times 10^{-11}$ m (le rayon de Bohr), la force d’attraction vaut

La gravitation universelle entre les deux mêmes particules ne vaut qu’environ $3{,}631 \times 10^{-47}$ N : la force électrique est environ $2{,}268 \times 10^{39}$ fois plus forte. C’est pourquoi la chimie, la cohésion des solides et le frottement relèvent de l’électricité, et non de la gravitation.

Pourquoi c’est vrai

La loi de Coulomb est d’abord une loi expérimentale : elle résume des mesures. Elle a été vérifiée de très nombreuses fois ; selon Wikipédia, les observations la confirment à des échelles allant d’environ $10^{-16}$ m à $10^{8}$ m.

Le lien avec le théorème de Gauss. Dans la théorie de Maxwell, l’une des équations (le théorème de Gauss) dit que le flux du champ électrique à travers une surface fermée vaut la charge intérieure divisée par $\varepsilon_0$. Pour une charge ponctuelle immobile, on admet en plus que le champ est radial et de même intensité dans toutes les directions (symétrie sphérique). Sur une sphère de rayon $r$ centrée sur la charge, le flux vaut alors $E \times 4\pi r^2$, d’où

et la force sur une charge $q_2$ placée là est $q_2 E$ : on retrouve la loi de Coulomb. Le théorème de Gauss seul ne suffit pas, l’hypothèse de symétrie est indispensable.

Pourquoi le carré ? La surface d’une sphère croît comme $r^2$. Avec une force en $1/r^2$ exactement, le flux à travers une sphère centrée sur la charge est donc le même quel que soit son rayon ; avec un autre exposant, il changerait avec le rayon. Les programmes de l’atelier vérifient numériquement les deux sens : le flux calculé à partir de la loi de Coulomb vaut bien $q/\varepsilon_0$ pour une sphère qui contient la charge, même décentrée, il est nul si la charge est dehors, et une loi en $1/r^{2,1}$ ne donnerait pas un flux constant.

Un peu d’histoire

L’idée d’une force électrique en inverse du carré de la distance circulait au XVIIIᵉ siècle. Selon Wikipedia, Franz Aepinus la suppose en 1758, Joseph Priestley la conjecture en 1767 à partir d’expériences sur des sphères chargées, et John Robison obtient en 1769 des mesures proches d’un exposant 2. Henry Cavendish trouve aussi la loi au début des années 1770, mais ne publie pas ce résultat.

C’est Charles-Augustin Coulomb, ingénieur et physicien français, qui énonce la loi en 1785, à partir de mesures faites avec une balance de torsion : une petite boule chargée portée par une tige isolante, suspendue à un fil fin. La répulsion entre deux boules tord le fil, et l’angle de torsion mesure la force. Coulomb montre aussi que la même loi vaut pour l’attraction entre charges de signes contraires. L’unité de charge du Système international, le coulomb, porte son nom.

Ce que montre l’affiche

Le dessin montre les lignes du champ électrique créé par deux charges, $+4q$ à gauche et $-q$ à droite. Chaque ligne est calculée pas à pas en suivant la direction de la somme des deux champs de Coulomb. Comme seul un quart de la charge de $+4q$ est compensé par $-q$, seules les lignes qui quittent $+4q$ à moins de $60^\circ$ de l’axe aboutissent sur $-q$ ; les autres partent à l’infini. Le petit cercle marque le point où le champ s’annule, à droite de $-q$, trois fois plus loin du milieu des charges que chacune d’elles. Le dessin est calculé par des programmes écrits pour l’atelier, à partir de la formule elle-même ; l’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La gravitation universelle, l’autre grande loi en inverse du carré.
• La force de Lorentz, qui ajoute la force magnétique sur les charges en mouvement.
• Les équations de Maxwell, dont le théorème de Gauss est la première.
• La loi d’Ohm, pour les charges qui circulent dans un conducteur.

Sources : Loi de Coulomb (Wikipédia) (nouvel onglet), Coulomb’s law (Wikipedia) (nouvel onglet), Coulomb’s law (Encyclopædia Britannica) (nouvel onglet), permittivité du vide (NIST) (nouvel onglet), rayon de Bohr (NIST) (nouvel onglet), Charles-Augustin Coulomb (Wikipédia) (nouvel onglet).