La deuxième loi de Newton

Ce que dit la formule

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures qui s’exercent sur un corps de masse constante est égale au produit de sa masse par l’accélération de son centre de masse. On l’appelle aussi principe fondamental de la dynamique.

• $\sum \vec{F}$ : la somme (résultante) de toutes les forces extérieures appliquées au corps, en newtons (N). Les forces s’additionnent comme des vecteurs : deux forces égales et opposées donnent une somme nulle.
• $m$ : la masse du corps, en kilogrammes (kg). Elle mesure son inertie, c’est-à-dire sa résistance aux changements de mouvement.
• $\vec{a}$ : l’accélération du centre de masse, en m/s². C’est la variation de la vitesse (vecteur) par unité de temps : un virage à vitesse constante est aussi une accélération.
• Référentiel galiléen (ou inertiel) : un référentiel dans lequel un corps soumis à aucune force, ou à des forces qui se compensent, garde un mouvement rectiligne uniforme (première loi). Le sol terrestre en est une bonne approximation pour des expériences courtes.

La forme générale. Avec la quantité de mouvement $\vec{p} = m\vec{v}$, la loi s’écrit $\sum \vec{F} = \mathrm{d}\vec{p}/\mathrm{d}t$. Pour un système fermé, qui ne gagne ni ne perd de matière, et une masse constante, on retrouve $m\vec{a}$. Pour une fusée qui éjecte du gaz, il faut raisonner sur l’ensemble fusée plus gaz éjecté : dériver naïvement $m\vec{v}$ avec une masse variable donne des résultats faux. Enfin, à des vitesses proches de celle de la lumière, la forme $\mathrm{d}\vec{p}/\mathrm{d}t$ reste valable, mais avec la quantité de mouvement relativiste.

Cette loi définit aussi l’unité de force : un newton est la force qui donne à une masse de 1 kg une accélération de 1 m/s², soit $1\ \mathrm{N} = 1\ \mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-2}}$.

Un exemple

On lance une balle à $v_0 = 20$ m/s, à 45° au-dessus de l’horizontale, et on néglige la résistance de l’air. La seule force est le poids $m\vec{g}$, avec $g = 9{,}81$ m/s². La loi donne $m\vec{a} = m\vec{g}$, donc $\vec{a} = \vec{g}$ : l’accélération ne dépend pas de la masse.

1. Horizontalement, aucune force : la vitesse reste $v_0 \cos 45° \approx 14{,}14$ m/s.
2. Verticalement, la vitesse diminue de 9,81 m/s chaque seconde. La position est $y(t) = v_0 \sin\alpha \; t - \tfrac{1}{2} g t^2$.
3. La balle retombe quand $y = 0$, au bout de $t = 2 v_0 \sin\alpha / g \approx 2{,}88$ s.
4. Elle parcourt alors la portée $v_0^2 \sin(2\alpha)/g = 400/9{,}81 \approx 40{,}77$ m.
5. Le sommet est atteint à mi-parcours, à la hauteur $v_0^2 \sin^2\alpha / (2g) \approx 10{,}19$ m.

À 30° ou à 60°, la portée est la même, environ 35,31 m, car $\sin 60° = \sin 120°$ ; 45° donne la plus grande portée, puisque $\sin(2\alpha)$ y vaut 1.

Un second exemple, en sens inverse. Une voiture de 1 200 kg passe de 0 à 100 km/h en 10 secondes, en ligne droite, avec une accélération supposée constante. Comme 100 km/h font environ 27,77 m/s, l’accélération vaut environ 2,77 m/s². La loi donne alors la somme des forces : $1\,200 \times 2{,}777\ldots \approx 3\,333$ N. Ce n’est pas la force du moteur seule, mais le bilan de toutes les forces horizontales : la poussée transmise par les roues, moins la résistance de l’air et les frottements. Verticalement, le poids et la réaction de la route se compensent, puisque la voiture ne quitte pas le sol : leur somme est nulle.

Quand la somme est nulle. Un livre posé sur une table subit son poids, vers le bas, et la réaction de la table, vers le haut. Ces deux forces sont égales et opposées, leur somme est nulle, donc son accélération est nulle : il reste immobile. La loi ne dit pas qu’un corps sans accélération ne subit aucune force, mais que les forces qu’il subit se compensent.

Pourquoi c’est vrai

La deuxième loi n’est pas un théorème qu’on démontre : c’est un principe, posé au départ de la mécanique classique et confirmé par d’innombrables expériences, des plans inclinés aux trajectoires des sondes spatiales. Elle joue en partie le rôle d’une définition : elle relie la force, la masse et l’accélération, et permet de mesurer l’une à partir des deux autres.

Ce qui se démontre, ce sont ses conséquences. Dans l’exemple ci-dessus, éliminer le temps entre $x = v_0 \cos\alpha \; t$ et $y(t)$ donne

l’équation d’une parabole. La prédiction est vérifiable : sans frottement, tous les projectiles décrivent des paraboles. La loi a aussi ses limites, connues : elle cesse d’être exacte aux très grandes vitesses (relativité restreinte) et à l’échelle atomique (mécanique quantique).

Un peu d’histoire

Isaac Newton énonce ses trois lois du mouvement en latin au début des Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, en 1687. Sa deuxième loi dit que le changement du mouvement est proportionnel à la force motrice imprimée, et se fait selon la droite où cette force s’exerce. Par « mouvement », Newton entend ce que l’on appelle aujourd’hui la quantité de mouvement.

Newton n’a pas écrit $\sum \vec{F} = m\,\vec{a}$ : il raisonnait par proportions et par géométrie, et la notation vectorielle n’existait pas encore. L’écriture sous la forme force égale masse fois accélération apparaît, pour une force constante, chez Jakob Hermann en 1716, et Leonhard Euler en fait un principe de base de la mécanique dans les années 1740, selon Wikipédia (Newton’s laws of motion) (nouvel onglet).

Ce que montre l’affiche

Le dessin montre quinze projectiles lancés du même point à la même vitesse, 20 m/s, sous des angles de 10° à 80° de 5 en 5, soumis à leur seul poids. Chaque trajectoire a été calculée pas à pas à partir de la loi, puis comparée à la parabole exacte. Le tir à 45°, plus épais, va le plus loin ; les tirs symétriques par rapport à 45° retombent au même endroit. En pointillé, la courbe enveloppe que nulle trajectoire ne dépasse, appelée parabole de sûreté. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La loi de la gravitation universelle : avec la deuxième loi, elle explique les orbites des planètes.
• E = mc², qui montre ce que devient la mécanique aux grandes vitesses.
• Les équations de Maxwell, pour les forces électriques et magnétiques.