Les plus belles formules mathématiques : ce que disent les sondages

Quelle est la plus belle formule mathématique ?

La formule la plus souvent citée comme la plus belle est l’identité d’Euler :

Elle réunit cinq nombres venus de domaines différents : $0$ et $1$, les éléments neutres de l’addition et de la multiplication ; $\pi$, qui vient de la géométrie du cercle ; $e \approx 2{,}718$, la base de l’exponentielle ; $i$, l’unité imaginaire, telle que $i^2 = -1$. Elle découle de la formule d’Euler, $e^{i\theta} = \cos\theta + i\,\sin\theta$, prise pour $\theta = \pi$.

Dire qu’elle est « la plus belle » reste une appréciation. Ce qui est établi, c’est qu’elle arrive en tête des deux sondages les plus cités sur la question et d’une étude de neurosciences, présentés ci-dessous.

Que dit le sondage du Mathematical Intelligencer ?

À l’automne 1988, l’auteur britannique David Wells a demandé aux lecteurs de la revue The Mathematical Intelligencer (vol. 10, n° 4) de noter de 0 à 10 la beauté de 24 théorèmes qu’il avait choisis. Il a reçu 76 questionnaires et en a écarté quelques-uns : une réponse qui donnait 0 à tout, une autre avec un très grand nombre de zéros, quatre avec beaucoup de cases vides et deux qui distribuaient de nombreux 10. Les moyennes portent sur les 68 réponses restantes. Il a publié les résultats en 1990 dans l’article « Are These the Most Beautiful? » (nouvel onglet) (vol. 12, n° 3).

Trois des cinq premiers énoncés sont liés au nom d’Euler. Wells lui-même invitait à la prudence : la liste des 24 énoncés était fixée à l’avance, et il se demandait si certains votes n’allaient pas à des théorèmes « réputés » beaux. Il citait aussi le mathématicien François Le Lionnais, pour qui l’identité d’Euler, qui semblait à son époque un lien fantastique entre les nombres les plus importants, paraît aujourd’hui toute naturelle, parce que la raison profonde de ce lien est devenue évidente.

Que dit le sondage de Physics World ?

En 2004, le philosophe et historien des sciences Robert P. Crease a demandé aux lecteurs du magazine Physics World quelles étaient pour eux les plus grandes équations. Il a reçu environ 120 réponses, qui proposaient une cinquantaine d’équations. Les plus citées étaient l’identité d’Euler et les équations de Maxwell (résultats publiés le 15 octobre 2004 (nouvel onglet)).

Parmi les autres équations souvent proposées figuraient la deuxième loi de Newton, le théorème de Pythagore, l’équation de Schrödinger, E = mc², l’entropie de Boltzmann, la transformée de Fourier, les équations d’Einstein, le périmètre du cercle et même $1 + 1 = 2$. Le magazine reconnaissait lui-même que ce sondage n’avait rien d’une enquête rigoureuse.

Que dit l’étude de neurosciences de 2014 ?

En 2014, Semir Zeki, John Paul Romaya, Dionigi Benincasa et le mathématicien Michael Atiyah ont publié dans Frontiers in Human Neuroscience une étude sur la beauté mathématique (nouvel onglet). Quinze mathématiciens ont noté 60 formules, de −5 (laide) à +5 (belle), puis les ont revues dans un appareil d’imagerie cérébrale.

L’identité d’Euler est la formule la plus régulièrement jugée belle. L’identité $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ du cercle trigonométrique et les équations de Cauchy-Riemann figuraient aussi parmi les mieux notées ; la série de Ramanujan pour $1/\pi$ a été la plus souvent jugée laide. Les auteurs ont relevé que l’expérience de la beauté mathématique s’accompagne d’une activité dans une zone du cortex orbitofrontal médian, celle qui réagit aussi à la beauté visuelle ou musicale.

Quelles sont les formules mathématiques les plus célèbres ?

Voici les formules qui reviennent le plus souvent dans ces classements et dans les ouvrages de vulgarisation, avec ce qu’elles disent.

La relation d’Euler des polyèdres

Pour tout polyèdre convexe, le nombre de sommets moins le nombre d’arêtes plus le nombre de faces vaut 2. Un cube a 8 sommets, 12 arêtes et 6 faces : $8 - 12 + 6 = 2$. La page de la relation montre aussi pourquoi il n’existe que cinq polyèdres réguliers convexes.

L’infinité des nombres premiers

La preuve d’Euclide tient en quelques lignes : multipliez tous les nombres premiers d’une liste finie et ajoutez 1 ; le résultat a un facteur premier qui n’est pas dans la liste. Par exemple $2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 + 1 = 30\,031 = 59 \times 509$. La liste n’était donc jamais complète. Voir les nombres premiers.

Le problème de Bâle

Euler a trouvé vers 1734 que la somme des inverses des carrés vaut $\frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}644\,934$. La surprise vient de la présence de $\pi$, nombre du cercle, dans une somme qui ne parle que d’entiers. Détails sur la page du problème de Bâle et sur celle de la fonction zêta de Riemann, qui relie la même somme aux nombres premiers.

Le théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés. C’est sans doute la formule la plus connue ; elle était utilisée bien avant Pythagore. Voir le théorème de Pythagore.

La racine de 2 est irrationnelle

Aucune fraction $\frac{p}{q}$ d’entiers n’a pour carré exactement 2. La démonstration par l’absurde, connue depuis l’Antiquité grecque, est un modèle du genre : voir la racine de 2.

Le nombre d’or

Il vérifie $\varphi^2 = \varphi + 1$ et vaut environ $1{,}618$. C’est aussi la limite du rapport de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci. Beaucoup d’affirmations sur sa présence dans l’art ou le corps humain sont contestées : la page du nombre d’or fait le tri.

L’intégrale de Gauss

L’aire sous la courbe en cloche vaut exactement $\sqrt{\pi}$, alors que la fonction $e^{-x^2}$ n’a pas de primitive qui s’écrive avec les fonctions usuelles. Cette intégrale fonde la loi normale. Voir l’intégrale de Gauss.

La formule de Leibniz

Une somme alternée des inverses des nombres impairs donne un quart de $\pi$. Elle converge très lentement : voir la formule de Leibniz.

La formule de Stirling

Elle estime la factorielle à l’aide de $\pi$ et de $e$. Dès $n = 10$, l’erreur relative est inférieure à 1 % (environ 0,84 %). Voir la formule de Stirling.

Le grand théorème de Fermat

Cette équation n’a aucune solution en entiers strictement positifs dès que $n \geq 3$. Énoncé vers 1637, le résultat n’a été démontré qu’en 1995, par Andrew Wiles. Voir le grand théorème de Fermat.

L’ensemble de Mandelbrot

Une seule règle, répétée, et une figure dont le bord se complique à toutes les échelles : l’ensemble des nombres complexes $c$ pour lesquels la suite reste bornée. Voir l’ensemble de Mandelbrot.

Qu’est-ce qui rend une formule belle ?

Les mathématiciens qui en parlent citent souvent les mêmes critères :

• La brièveté : peu de symboles pour une idée profonde, comme $e^{i\pi} + 1 = 0$.
• La surprise : un lien inattendu entre des domaines éloignés, comme $\pi$ qui apparaît dans une somme d’entiers.
• La portée : un énoncé vrai pour tous les polyèdres, tous les triangles rectangles, tous les nombres premiers.
• Une preuve élégante : la démonstration d’Euclide sur les nombres premiers ou celle de l’irrationalité de $\sqrt{2}$ tiennent en quelques lignes.

Le mathématicien G. H. Hardy en faisait un critère de valeur dans A Mathematician’s Apology (1940) : selon lui, « il n’y a pas de place durable dans le monde pour des mathématiques laides » (biographie sur MacTutor (nouvel onglet)).

Une belle formule en affiche

Les formules détaillées ci-dessus ont chacune leur page d’explication et leur affiche, dont le dessin est calculé par des programmes écrits pour l’atelier, à partir de la formule elle-même : le cercle parcouru par $e^{i\theta}$ pour l’identité d’Euler, les cinq solides de Platon pour la relation des polyèdres. Quatre styles sont proposés : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir. Toutes les formules sont réunies dans les affiches de mathématiques ; pour offrir, voir aussi les idées de cadeau pour un professeur de maths. Côté physique, le guide des équations qui ont changé le monde prolonge cette page.