La loi d’Ohm

Ce que dit la formule

Pour un conducteur ohmique (une résistance, un fil métallique…) maintenu à température constante, la tension $U$ entre ses bornes et l’intensité $I$ du courant qui le traverse sont proportionnelles :

• $U$ : la tension (ou différence de potentiel) aux bornes du conducteur, en volts (V).
• $I$ : l’intensité du courant qui le traverse, en ampères (A).
• $R$ : la résistance du conducteur, en ohms ($\Omega$). C’est une constante positive, propre au conducteur et à sa température.

La relation suppose la convention récepteur : sur le schéma, la flèche de tension et celle du courant sont orientées en sens opposés. On l’utilise aussi sous les formes $I = U/R$ et $R = U/I$.

Dans le Système international, l’ohm vaut un volt par ampère : $1\ \Omega = 1\ \mathrm{V/A} = 1\ \mathrm{kg \cdot m^2 \cdot s^{-3} \cdot A^{-2}}$.

Ce n’est pas une loi universelle. Elle décrit bien les métaux et les résistances du commerce, à température fixée. Elle ne s’applique pas à une diode, dont l’intensité croît exponentiellement avec la tension, ni telle quelle au filament d’une lampe à incandescence, dont la résistance augmente quand il chauffe. Les composants qui la vérifient sont dits ohmiques.

Un exemple

Une résistance de 220 Ω sous 5 V. L’intensité vaut

soit environ 22,7 mA. La puissance dissipée en chaleur (effet Joule) vaut $P = U I = U^2/R = 25/220$, soit environ 0,113 W.

Deux résistances associées. Prenons $R_1 = 30\ \Omega$ et $R_2 = 60\ \Omega$, alimentées sous 12 V.

• En série, le même courant les traverse et les tensions s’ajoutent : $R = R_1 + R_2 = 90\ \Omega$, donc $I = 12/90$, environ 0,133 A.
• En parallèle, elles ont la même tension et les courants s’ajoutent : $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$, d’où $R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{1\,800}{90} = 20\ \Omega$ et $I = 12/20 = 0{,}6$ A.

L’association en parallèle a toujours une résistance plus petite que chacune des deux, l’association en série une résistance plus grande.

Pourquoi c’est vrai

La loi d’Ohm n’est pas un théorème : c’est une loi expérimentale, vérifiée avec une grande précision pour les métaux. On sait cependant expliquer pourquoi elle marche.

L’idée du modèle de Drude (1900). Dans un métal, le champ électrique $E$ accélère les électrons libres, mais ceux-ci subissent sans cesse des collisions qui leur font perdre cette vitesse acquise. Il en résulte une vitesse moyenne de dérive proportionnelle au champ, donc une densité de courant $j$ proportionnelle au champ : $j = \sigma E$, où $\sigma$ est la conductivité du matériau. C’est la forme locale de la loi d’Ohm.

Du matériau au fil. Pour un fil homogène de longueur $L$ et de section $S$, le champ est uniforme : $U = E L$. Le courant est $I = j S = \sigma S E$. En éliminant $E$ :

c’est-à-dire $U = RI$ avec $R = \frac{L}{\sigma S}$. La résistance croît avec la longueur et décroît avec la section, comme l’expérience le montre. Ce raisonnement explique la proportionnalité ; il ne prédit pas la valeur exacte de $\sigma$, qui demande la physique quantique des solides.

Série et parallèle découlent de la loi d’Ohm et des lois de Kirchhoff : en série, $U = R_1 I + R_2 I = (R_1 + R_2) I$ ; en parallèle, $I = U/R_1 + U/R_2$.

Un peu d’histoire

Le physicien allemand Georg Simon Ohm mène ses expériences en 1825 et 1826 et publie ses résultats en 1827 dans un livre, Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet (« Le circuit galvanique traité mathématiquement »). Il mesurait le courant avec un galvanomètre dans des fils de longueurs différentes, alimentés d’abord par des piles voltaïques, puis par un thermocouple, plus stable. Il exprimait ses mesures par une relation de la forme $x = \frac{a}{b + \ell}$, où $\ell$ est la longueur du fil testé : elle contient la loi moderne, la constante $b$ tenant compte du reste du circuit. Ohm s’est inspiré des travaux de Joseph Fourier sur la conduction de la chaleur.

Avant lui, dès 1781, Henry Cavendish avait observé une proportionnalité du même genre avec des tubes remplis d’eau salée, en estimant le courant par la décharge qu’il ressentait dans son propre corps. Il ne publia pas ces résultats, connus seulement après leur publication par James Clerk Maxwell en 1879.

L’unité de résistance du Système international, l’ohm, porte aujourd’hui le nom de Georg Ohm.

Ce que montre l’affiche

Le dessin trace les caractéristiques $U = RI$ de dix résistances, de 10 à 100 Ω, pour des intensités de 0 à 0,1 A : ce sont dix droites qui passent toutes par l’origine, d’autant plus pentues que la résistance est grande. Quatre d’entre elles sont en couleur : 30 Ω et 60 Ω, puis les résistances que donne leur association, 90 Ω en série et 20 Ω en parallèle, calculées par le programme. Le dessin est calculé par des programmes écrits pour l’atelier, à partir de la formule elle-même ; l’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Les équations de Maxwell, qui décrivent les champs électrique et magnétique.
• La deuxième loi de Newton, utilisée dans le modèle de Drude pour le mouvement des électrons.
• La vitesse de la lumière, autre grande constante de l’électromagnétisme.

Sources : Loi d’Ohm (Wikipédia) (nouvel onglet), Ohm’s law (Wikipedia) (nouvel onglet), Ohm’s law (Encyclopædia Britannica) (nouvel onglet), brochure du SI (BIPM) (nouvel onglet).