Le périmètre du cercle et l’aire du disque

Ce que disent les formules

Le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est la ligne formée des points situés à la distance $r$ de $O$ ; le disque est la surface qu’il délimite, bord compris. Pour tout rayon $r > 0$ :

• $r$ est le rayon ; le diamètre vaut $d = 2r$, si bien que le périmètre s’écrit aussi $P = \pi d$.
• $P$ est le périmètre du disque, c’est-à-dire la longueur du cercle. Il s’exprime dans la même unité que $r$ : centimètres, mètres…
• $\mathcal{A}$ est l’aire du disque. Elle s’exprime dans l’unité de longueur au carré : si $r$ est en centimètres, $\mathcal{A}$ est en centimètres carrés (cm²).
• $\pi$ est le quotient de la longueur d’un cercle par son diamètre. Ce quotient est le même pour tous les cercles : $\pi \approx 3{,}141\,592\,653\,5$. Ce n’est pas une fraction : Johann Heinrich Lambert a démontré au XVIIIe siècle que $\pi$ est irrationnel, et Ferdinand von Lindemann en 1882 qu’il est transcendant.

Le périmètre est proportionnel au rayon, l’aire au carré du rayon. Doubler le rayon double le périmètre, mais multiplie l’aire par 4.

Un exemple

Un disque de 5 cm de rayon.

1. Périmètre : $P = 2 \times \pi \times 5 = 10\pi$, soit environ 31,42 cm (31,415 9… cm).
2. Aire : $\mathcal{A} = \pi \times 5^2 = 25\pi$, soit environ 78,54 cm² (78,539 8… cm²).

Une grande pizza ou deux petites ? Une pizza de 30 cm de diamètre a un rayon de 15 cm, donc une aire de $225\pi$, environ 706,86 cm². Deux pizzas de 20 cm de diamètre ont chacune un rayon de 10 cm, donc une aire totale de $2 \times 100\pi = 200\pi$, environ 628,32 cm². La grande pizza offre $\frac{225}{200} = 1{,}125$ fois plus de surface, soit 12,5 % de plus, alors que son diamètre est inférieur à la somme des deux autres. C’est l’effet du carré.

Une roue. Une roue de 70 cm de diamètre avance, à chaque tour sans glisser, d’une longueur égale à son périmètre : $70\pi$, environ 219,91 cm. Pour parcourir 1 km, soit 100 000 cm, elle fait donc environ 454,7 tours.

Pourquoi c’est vrai

Le périmètre. La formule $P = 2\pi r$ est, au fond, la définition de $\pi$ : le quotient du périmètre par le diamètre. Ce qui demande une justification, c’est que ce quotient soit le même pour tous les cercles. C’est le cas parce que deux cercles sont toujours l’agrandissement l’un de l’autre : multiplier le rayon par $k$ multiplie toutes les longueurs, y compris celle du cercle, par $k$.

L’aire, l’idée. Découpons le disque en un grand nombre de secteurs égaux, comme les parts d’une tarte, et disposons-les tête-bêche, une part pointe en bas, la suivante pointe en haut. On obtient une figure presque rectangulaire. Sa hauteur est à peu près le rayon $r$ ; sa largeur est à peu près la moitié du cercle, soit $\pi r$, puisque la moitié des arcs se trouvent en haut et l’autre moitié en bas. Plus les parts sont fines, plus la figure ressemble à un rectangle de côtés $\pi r$ et $r$, d’aire $\pi r \times r = \pi r^2$. Le découpage ne change pas l’aire : c’est donc celle du disque.

Ce raisonnement est une idée de preuve, pas une démonstration complète : il faut encore justifier le passage à la limite. Archimède l’a fait rigoureusement, en encadrant le disque entre des polygones réguliers inscrits et circonscrits dont on augmente le nombre de côtés, et en montrant par l’absurde que l’aire du disque ne peut être ni plus grande ni plus petite que celle d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent $r$ et $2\pi r$, soit $\frac{1}{2} \times r \times 2\pi r = \pi r^2$. Avec le calcul intégral, on retrouve le même résultat en additionnant des bandes verticales : $\mathcal{A} = \int_{-r}^{r} 2\sqrt{r^2 - x^2}\,\mathrm{d}x = \pi r^2$.

Un peu d’histoire

Le papyrus Rhind, copié en Égypte par le scribe Ahmès il y a environ 3 600 ans d’après un texte plus ancien, calcule l’aire d’un disque comme celle d’un carré dont le côté vaut les $\frac{8}{9}$ du diamètre. Cela revient à prendre pour $\pi$ la valeur $\frac{256}{81}$, environ 3,160 5.

Dans les Éléments d’Euclide (vers 300 av. J.-C.), la proposition 2 du livre XII (nouvel onglet) énonce que les aires de deux disques sont dans le même rapport que les carrés de leurs diamètres : c’est l’affirmation qu’un nombre fixe relie l’aire au carré du rayon, sans donner sa valeur.

Archimède, dans son traité De la mesure du cercle (IIIe siècle av. J.-C.), démontre que l’aire d’un disque est égale à celle d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont le rayon et la longueur du cercle. Il encadre aussi $\pi$ grâce à des polygones réguliers à 96 côtés : $3 + \frac{10}{71} < \pi < 3 + \frac{1}{7}$, c’est-à-dire entre environ 3,140 8 et 3,142 9.

Le premier emploi connu de la lettre grecque $\pi$ pour désigner ce nombre date de 1706, chez le mathématicien gallois William Jones ; c’est Leonhard Euler qui en a popularisé l’usage, dans des ouvrages publiés en 1736 et 1748.

Ce que montre l’affiche

Le programme découpe le disque en 24 secteurs égaux : ceux de la moitié haute en une couleur, ceux de la moitié basse en une autre, avec les deux demi-cercles, de longueur $\pi r$ chacun, tracés en trait épais. En dessous, il remet les mêmes secteurs tête-bêche, par des rotations et des translations calculées : deux voisins partagent exactement un rayon, les arcs du haut et ceux du bas forment chacun un demi-périmètre, et la figure approche un rectangle de largeur $\pi r$ et de hauteur $r$. Comme tous les dessins de la boutique, il est calculé par des programmes écrits pour l’atelier, à partir de la formule elle-même, et existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La formule de Leibniz, une somme infinie qui converge vers $\frac{\pi}{4}$.
• Le cercle trigonométrique, le cercle de rayon 1, dont la longueur vaut $2\pi$.
• L’aire d’un triangle, qu’Archimède utilise pour calculer celle du disque.
• L’identité d’Euler, où $\pi$ rejoint $e$, $i$, 0 et 1.