La fonction zêta de Riemann

Ce que dit la formule

Pour tout nombre complexe $s$ de partie réelle strictement supérieure à 1, c’est-à-dire $\mathrm{Re}(s) > 1$ :

• $\zeta$ (la lettre grecque zêta) est le nom de la fonction.
• $s$ est la variable. Elle peut être un simple nombre réel, comme $s = 2$, ou un nombre complexe $s = \sigma + it$, où $\sigma = \mathrm{Re}(s)$ est la partie réelle et $t$ la partie imaginaire.
• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$ est la somme infinie $1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots$. Elle converge seulement si $\mathrm{Re}(s) > 1$ : pour $s = 1$, on obtient la série harmonique, qui diverge.
• $\prod_{p\ \text{premier}}$ désigne un produit infini, pris sur tous les nombres premiers $p = 2, 3, 5, 7, 11\ldots$ C’est le produit eulérien.

L’égalité entre la somme et le produit relie deux mondes : à gauche, tous les entiers ; à droite, les seuls nombres premiers.

Au-delà de $\mathrm{Re}(s) > 1$. La série n’a plus de sens, mais la fonction se prolonge de façon unique à tout le plan complexe, sauf en $s = 1$, où elle a un pôle (elle « devient infinie »). C’est ce prolongement qu’on appelle encore $\zeta$. Il s’annule aux entiers pairs négatifs $-2, -4, -6, \ldots$ : ce sont les zéros triviaux. Tous les autres zéros, dits non triviaux, sont situés dans la bande critique $0 < \mathrm{Re}(s) < 1$.

L’hypothèse de Riemann affirme que tous les zéros non triviaux ont une partie réelle exactement égale à $\frac{1}{2}$, c’est-à-dire qu’ils sont tous sur la droite $\mathrm{Re}(s) = \frac{1}{2}$. Elle n’est pas démontrée. Le premier de ces zéros, en partant de l’axe réel vers le haut, est environ $\frac{1}{2} + 14{,}134725\,i$.

Un exemple

Prenons $s = 2$. Euler a montré que $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$, soit environ 1,644934.

• Avec la somme : les 10 premiers termes donnent environ 1,549767 ; les 1 000 premiers, environ 1,643934. La somme approche lentement $\frac{\pi^2}{6}$.
• Avec le produit, sur les nombres premiers 2, 3, 5 et 7 :

soit environ 1,595052. Avec les 25 nombres premiers inférieurs à 100, le produit vaut environ 1,641945.

Les deux calculs s’approchent de la même limite, ce que garantit la formule. De la même façon, $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$, environ 1,082323.

Pourquoi les zéros comptent. Le théorème des nombres premiers dit que le nombre $\pi(x)$ de nombres premiers inférieurs ou égaux à $x$ est équivalent à $\frac{x}{\ln x}$. Une bien meilleure approximation est l’intégrale $\mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac{\mathrm{d}t}{\ln t}$ (une forme du « logarithme intégral »). Pour $x = 1\,000\,000$, on compte exactement 78 498 nombres premiers ; $\frac{x}{\ln x}$ vaut environ 72 382 et $\mathrm{Li}(x)$ environ 78 626. Riemann a donné une formule, rendue rigoureuse plus tard, qui exprime l’écart entre $\pi(x)$ et son approximation à l’aide des zéros non triviaux de $\zeta$. Plus leurs parties réelles sont petites, plus cet écart est petit ; or, les zéros étant symétriques par rapport à la droite $\mathrm{Re}(s) = \frac{1}{2}$, le mieux possible est qu’ils soient tous dessus. C’est pourquoi leur position importe tant.

Pourquoi c’est vrai

L’égalité entre la somme et le produit, prouvée par Euler pour $s$ réel, repose sur un crible. Voici l’idée pour $s > 1$ réel.

Multiplions $\zeta(s)$ par $\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)$. Comme $\frac{1}{2^s}\zeta(s) = \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \cdots$, la soustraction fait disparaître tous les termes d’indice pair :

Multiplions ensuite par $\left(1 - \frac{1}{3^s}\right)$ : les multiples de 3 disparaissent à leur tour. En recommençant avec 5, 7, 11…, on élimine tous les entiers supérieurs à 1, puisque chacun a au moins un facteur premier. Il ne reste que le terme 1, d’où $\zeta(s) \prod_p (1 - p^{-s}) = 1$.

Ce raisonnement utilise le fait que tout entier se décompose de façon unique en produit de nombres premiers. Pour en faire une preuve complète, on montre que l’erreur commise en s’arrêtant aux premiers inférieurs à $N$ tend vers 0, ce qui demande $\mathrm{Re}(s) > 1$.

Le prolongement, l’existence des zéros triviaux et la symétrie des zéros non triviaux autour de la droite $\mathrm{Re}(s) = \frac{1}{2}$ découlent d’une équation fonctionnelle qui relie $\zeta(s)$ à $\zeta(1 - s)$. Sa démonstration dépasse le cadre de cette page.

Un peu d’histoire

Euler établit le produit eulérien en 1737, quelques années après avoir trouvé $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ (le problème de Bâle). En 1859, Bernhard Riemann publie un court mémoire, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (« Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une grandeur donnée »). Il y étudie $\zeta$ comme fonction d’une variable complexe, relie ses zéros au décompte des nombres premiers, et y formule la conjecture qui porte son nom.

En 1896, Jacques Hadamard et Charles-Jean de La Vallée Poussin démontrent indépendamment le théorème des nombres premiers. L’étape clé est de prouver que $\zeta$ n’a aucun zéro sur la droite $\mathrm{Re}(s) = 1$.

En 1900, David Hilbert place l’hypothèse de Riemann dans sa liste de 23 problèmes (8e problème). En 1914, Godfrey Harold Hardy prouve qu’une infinité de zéros sont sur la droite $\mathrm{Re}(s) = \frac{1}{2}$, ce qui ne dit pas qu’ils y sont tous. Le 24 mai 2000, le Clay Mathematics Institute en fait l’un de ses sept problèmes du prix du millénaire, doté d’un million de dollars. Selon cet institut, les dix mille milliards ($10^{13}$) premiers zéros ont été vérifiés : ils sont tous sur la droite. Aucune vérification numérique, aussi longue soit-elle, ne constitue une démonstration.

Ce que montre l’affiche

Le dessin suit la valeur de $\zeta\left(\frac{1}{2} + it\right)$ quand $t$ va de 0 à 50, c’est-à-dire quand on remonte la droite critique. Chaque valeur est un nombre complexe, placé comme un point du plan ; le programme de l’atelier en calcule 5 001 et les relie, en changeant progressivement de couleur avec $t$. Le point marqué au centre est l’origine : la courbe y repasse à chacun des zéros rencontrés, dix sur cet intervalle. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Le problème de Bâle, qui donne $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$.
• Les nombres premiers, dont la répartition est liée aux zéros de $\zeta$.
• L’hypothèse de Riemann présentée par le Clay Mathematics Institute (nouvel onglet) (en anglais).