La suite de Fibonacci

Ce que dit la formule

La suite de Fibonacci est la suite de nombres entiers $(F_n)$ définie par ses deux premiers termes, $F_0 = 0$ et $F_1 = 1$, puis par une règle valable pour tout entier $n \geq 0$ :

• $n$ est le rang du terme : un entier naturel 0, 1, 2, 3…
• $F_n$ est le terme de rang $n$ ; $F_{n+1}$ et $F_{n+2}$ sont les deux termes qui le suivent.
• $F_0 = 0$ et $F_1 = 1$ sont les conditions de départ. Elles sont indispensables : avec la même règle mais d’autres valeurs de départ, on obtient une autre suite (en partant de 2 et 1, on obtient 2, 1, 3, 4, 7, 11…, la suite de Lucas).

Les premiers termes sont donc 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610… (suite A000045 de l’OEIS (nouvel onglet)). Certains ouvrages commencent la suite à $F_1 = F_2 = 1$, sans le terme nul : les numéros des termes restent les mêmes. La suite grandit vite : passé les premiers rangs, chaque terme vaut à peu près $1{,}618$ fois le précédent, si bien que $F_{30}$ vaut déjà $832\,040$.

L’affiche porte aussi un second résultat : le quotient de deux termes consécutifs tend vers le nombre d’or,

Un exemple

Calculons les termes un par un, en appliquant seulement la règle :

• $F_2 = F_1 + F_0 = 1 + 0 = 1$
• $F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$
• $F_4 = 2 + 1 = 3$, puis $F_5 = 3 + 2 = 5$, $F_6 = 5 + 3 = 8$, $F_7 = 13$, $F_8 = 21$, $F_9 = 34$, $F_{10} = 55$, $F_{11} = 89$, $F_{12} = 144$.

Regardons maintenant les quotients de deux termes consécutifs :

• $13/8 = 1{,}625$
• $21/13 \approx 1{,}6153$
• $34/21 \approx 1{,}6190$
• $55/34 \approx 1{,}6176$
• $89/55 \approx 1{,}6181$
• $144/89 \approx 1{,}6179$

Les quotients passent alternativement au-dessus et au-dessous de $\varphi \approx 1{,}6180$, en s’en rapprochant à chaque pas. Autre propriété facile à vérifier sur cet exemple : la somme $F_0 + F_1 + \cdots + F_{10}$ vaut $143$, c’est-à-dire $F_{12} - 1$. C’est un cas particulier de l’égalité $F_0 + F_1 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$, vraie pour tout $n$. De même, $F_9 \times F_{11} - F_{10}^2 = 34 \times 89 - 55^2 = 3\,026 - 3\,025 = 1$ : c’est l’identité de Cassini, $F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n$ pour tout $n \geq 1$, qui explique pourquoi deux termes consécutifs n’ont jamais de diviseur commun autre que $1$.

Pourquoi c’est vrai

La règle $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ est une définition : il n’y a rien à démontrer. Ce qui se démontre, c’est le lien avec le nombre d’or.

Le nombre d’or $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et le nombre $\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0{,}618$ sont les deux solutions de l’équation $x^2 = x + 1$. En multipliant cette égalité par $x^n$, on obtient $x^{n+2} = x^{n+1} + x^n$ : les suites $(\varphi^n)$ et $(\psi^n)$ obéissent donc à la même règle que la suite de Fibonacci, et toute combinaison $a\varphi^n + b\psi^n$ aussi.

On choisit $a$ et $b$ pour retrouver les deux premiers termes : $a + b = 0$ et $a\varphi + b\psi = 1$. Comme $\varphi - \psi = \sqrt{5}$, cela donne $a = \frac{1}{\sqrt{5}}$ et $b = -\frac{1}{\sqrt{5}}$. Deux suites qui suivent la même règle et ont les mêmes deux premiers termes sont égales (récurrence immédiate), d’où la formule de Binet :

Pour $n = 10$, le calcul donne bien $55$. Comme $|\psi| < 1$, le terme $\psi^n$ devient minuscule quand $n$ grandit. On en déduit

puisque $|\psi/\varphi| < 1$. Au passage, comme $|\psi^n/\sqrt{5}| < \frac{1}{2}$ pour tout $n \geq 0$, $F_n$ est toujours l’entier le plus proche de $\varphi^n/\sqrt{5}$.

Un peu d’histoire

La suite porte le nom de Léonard de Pise, dit Fibonacci, mais elle était connue en Inde bien avant lui. Les savants indiens qui étudiaient la métrique sanskrite comptaient les façons de remplir un vers d’une durée donnée avec des syllabes brèves (un temps) et longues (deux temps) : pour une durée de $n$ temps, on trouve $F_{n+1}$ façons. On en lit souvent une trace chez Pingala (entre le Ve et le IIe siècle avant notre ère, selon les datations), à travers une formule brève dont le sens est une interprétation des commentateurs. La règle est exposée plus clairement par Virahanka (vers le VIIe ou VIIIe siècle), dont l’œuvre est connue par une citation de Gopala (vers 1135), puis par Hemachandra (vers 1150).

En Europe, Fibonacci présente la suite en 1202 dans son Liber abaci, avec un problème de lapins volontairement idéalisé : chaque couple donne naissance à un nouveau couple chaque mois à partir de son deuxième mois, et aucun ne meurt. Le nombre de couples, mois après mois, suit la suite 1, 1, 2, 3, 5, 8…

En 1611, Kepler remarque dans un petit traité sur les flocons de neige que 5 est à 8 à peu près comme 8 est à 13. La formule $F_n = (\varphi^n - \psi^n)/\sqrt{5}$ porte le nom de Jacques Binet, qui la publie en 1843, mais elle était déjà connue au XVIIIe siècle, notamment d’Abraham de Moivre et de Daniel Bernoulli. Le nom de « suite de Fibonacci » a été popularisé au XIXe siècle par le mathématicien français Édouard Lucas.

Et la nature ? Dans de nombreuses plantes (écailles des pommes de pin, ananas, disposition des feuilles), on compte des spirales dont les nombres sont souvent deux termes consécutifs de la suite. C’est une tendance bien documentée, pas une loi universelle : beaucoup d’exemples qui circulent ne résistent pas à la mesure.

Ce que montre l’affiche

Le dessin assemble des carrés de côtés 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 et 21 : chaque nouveau carré se pose contre le grand côté du rectangle formé par les précédents, en tournant. On obtient un rectangle de 21 sur 34, deux termes consécutifs de la suite ; la somme des aires des carrés, $1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 + 441 = 714$, est exactement $21 \times 34$. Dans chaque carré, un quart de cercle relie deux coins opposés : mis bout à bout, ces arcs forment la spirale de Fibonacci, proche (sans lui être égale) d’une spirale logarithmique. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Le nombre d’or, limite des quotients de la suite.
• La spirale logarithmique, que la spirale des carrés imite.
• Le triangle de Pascal : en additionnant ses nombres le long de diagonales peu inclinées, on retrouve les termes de la suite de Fibonacci.