L’équation du second degré

Ce que dit la formule

On cherche les nombres réels $x$ tels que $ax^2 + bx + c = 0$, où $a$, $b$, $c$ sont des réels donnés et $a \neq 0$. On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Lorsque $\Delta \geq 0$, les solutions (on dit aussi les racines) sont :

• $a$ : le coefficient de $x^2$, obligatoirement non nul (sinon l’équation est du premier degré).
• $b$ : le coefficient de $x$ ; $c$ : le terme constant. Tous deux peuvent être nuls.
• $\Delta$ : le discriminant, qui « discrimine » les cas.
• $\pm$ : on obtient une racine avec le signe $+$ et une autre avec le signe $-$.

Les trois cas :

• si $\Delta > 0$, l’équation a deux solutions réelles distinctes, $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ ;
• si $\Delta = 0$, elle a une seule solution, $x_0 = -\frac{b}{2a}$, appelée racine double ;
• si $\Delta < 0$, elle n’a aucune solution réelle, car un carré de réel n’est jamais négatif. Elle a alors deux solutions complexes conjuguées, $\frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Quand $\Delta \geq 0$, les racines vérifient $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ et $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ (relations de Viète), et le trinôme se factorise : $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Un exemple

Résoudre $2x^2 - 4x - 6 = 0$. Ici $a = 2$, $b = -4$, $c = -6$.

1. Discriminant : $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 16 + 48 = 64$. Il est positif : deux solutions.
2. Racine carrée : $\sqrt{64} = 8$.
3. Racines : $x_1 = \frac{4 - 8}{4} = -1$ et $x_2 = \frac{4 + 8}{4} = 3$.
4. Vérification : $2 \times 3^2 - 4 \times 3 - 6 = 18 - 12 - 6 = 0$, et $2 \times (-1)^2 + 4 - 6 = 0$. On retrouve aussi $x_1 + x_2 = 2 = -\frac{b}{a}$ et $x_1 x_2 = -3 = \frac{c}{a}$.

Les deux autres cas. Pour $x^2 - 6x + 9 = 0$, $\Delta = 36 - 36 = 0$ : une seule solution, $x = \frac{6}{2} = 3$ ; en effet $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$. Pour $x^2 + x + 1 = 0$, $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ : aucune solution réelle.

Des racines irrationnelles. Pour $x^2 - x - 1 = 0$, $\Delta = 1 + 4 = 5$ et les racines sont $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, environ 1,618 033 988, et $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$, environ −0,618 033 988. La première est le nombre d’or.

Pourquoi c’est vrai

La méthode s’appelle la complétion du carré. Comme $a \neq 0$, on peut diviser par $a$ :

Le début $x^2 + \frac{b}{a}x$ est le début du carré $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}$ (identité remarquable). En remplaçant, l’équation devient

Le membre de gauche est un carré, donc positif ou nul, et le dénominateur $4a^2$ est strictement positif. Si $\Delta < 0$, le membre de droite est négatif : aucune solution réelle. Si $\Delta \geq 0$, l’égalité équivaut à $x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2|a|}$ ; comme le signe $\pm$ couvre les deux possibilités, on peut écrire $2a$ au lieu de $2|a|$, et l’on obtient $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. Si $\Delta = 0$, les deux valeurs se confondent.

Cette transformation montre aussi l’allure de la courbe $y = ax^2 + bx + c$ : c’est une parabole, symétrique par rapport à la droite $x = -\frac{b}{2a}$. Les solutions de l’équation sont les abscisses des points où elle coupe l’axe horizontal : deux points, un point de contact ou aucun.

Les programmes de l’atelier vérifient la formule sur 10 000 trinômes tirés au hasard avec $\Delta > 0$ (les deux valeurs annulent bien le trinôme et vérifient les relations de Viète), en calcul exact sur 5 000 trinômes à racines entières, sur des cas $\Delta = 0$ et $\Delta < 0$ (racines complexes comprises), et contrôlent que la formule n’a pas de sens quand $a = 0$.

Un peu d’histoire

Des problèmes équivalents à des équations du second degré sont résolus sur des tablettes babyloniennes en écriture cunéiforme, vieilles de plus de 3 500 ans ; la tablette BM 13901, par exemple, en contient toute une série, traités par une procédure proche de la complétion du carré. Euclide, vers 300 avant notre ère, donne des constructions géométriques équivalentes.

En Inde, Brahmagupta décrit vers 628 une règle en mots qui revient à la formule pour l’une des racines. Au IXe siècle, al-Khwarizmi étudie systématiquement ces équations dans son Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison, dont le mot al-jabr a donné « algèbre ». Il distingue six cas, avec des coefficients positifs, et justifie ses méthodes par des figures géométriques. Selon les historiens, une formule couvrant tous les cas n’apparaît qu’avec Simon Stevin, en 1594, et René Descartes publie en 1637, dans La Géométrie, une écriture proche de la nôtre. La notation $\Delta$ du discriminant est beaucoup plus récente.

Ce que montre l’affiche

Le dessin trace les paraboles $y = x^2 - 2x + c$ pour $c$ allant de $-3$ à $3$ par pas de $\frac{1}{2}$. Trois d’entre elles sont en couleur : pour $c = -3$, $\Delta = 16$ et la parabole coupe l’axe en $-1$ et $3$ ; pour $c = 1$, $\Delta = 0$ et elle le touche en $1$ ; pour $c = 3$, $\Delta = -8$ et elle reste au-dessus. Les points posés sur l’axe sont les racines calculées par la formule pour chaque parabole ; ils se rapprochent de l’axe de symétrie $x = -\frac{b}{2a} = 1$, tracé en pointillés, jusqu’à se confondre quand $\Delta$ s’annule. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Les identités remarquables, sur lesquelles repose la complétion du carré.
• Le nombre d’or, racine positive de $x^2 = x + 1$.
• La formule du binôme de Newton, qui développe toutes les puissances de $a + b$.
• La dérivée : le sommet de la parabole est le point où la dérivée $2ax + b$ s’annule.

Sources : Équation du second degré (Wikipédia) (nouvel onglet), Quadratic formula (Wikipedia) (nouvel onglet), Quadratic equation (Wikipedia) (nouvel onglet), Quadratic Equation (MathWorld) (nouvel onglet).