L’effet photoélectrique

Ce que dit la formule

Quand on éclaire la surface d’un métal, des électrons peuvent en être arrachés : c’est l’effet photoélectrique. Albert Einstein en a donné la loi en 1905 en supposant que la lumière de fréquence $\nu$ transporte son énergie par quanta, aujourd’hui appelés photons, d’énergie $h\nu$ chacun. Un photon absorbé cède toute son énergie à un électron ; si elle suffit, l’électron sort du métal, avec une énergie cinétique au plus égale à

• $E_{c,\max}$ : l’énergie cinétique maximale des électrons émis, en joules (on l’exprime souvent en électronvolts : 1 eV $= 1{,}602\,176\,634 \times 10^{-19}$ J exactement).
• $h$ : la constante de Planck, $h = 6{,}626\,070\,15 \times 10^{-34}$ J·s, valeur exacte depuis 2019 ; en électronvolts, environ $4{,}135\,667 \times 10^{-15}$ eV·s.
• $\nu$ : la fréquence de la lumière, en hertz. Elle est liée à la longueur d’onde $\lambda$ dans le vide par $\nu = c/\lambda$.
• $W$ : le travail de sortie du métal, l’énergie minimale qu’il faut fournir pour extraire un électron de sa surface. Il dépend du métal et de l’état de sa surface : d’environ 2 à 3 eV pour les métaux alcalins (potassium, sodium, césium…) à 4 à 6 eV pour la plupart des autres métaux usuels.

Le seuil. La formule n’a de sens que si $h\nu \geq W$. En dessous de la fréquence seuil $\nu_0 = W/h$, aucun électron n’est émis, quelle que soit l’intensité de la lumière. Au-dessus, augmenter l’intensité augmente le nombre d’électrons émis, pas leur énergie maximale.

Pourquoi « maximale ». Les électrons les moins liés sortent avec $h\nu - W$ ; les autres perdent un peu plus d’énergie en chemin et sortent moins vite. En pratique, on mesure $E_{c,\max}$ par la tension d’arrêt $U_0$, la tension électrique qui suffit tout juste à stopper les électrons les plus rapides : $e\,U_0 = E_{c,\max}$.

Un exemple

Lumière violette sur du potassium. Le travail de sortie du potassium vaut environ 2,29 eV. Une lumière violette de longueur d’onde 400 nm a pour fréquence $\nu = c/\lambda = 299\,792\,458 / (400 \times 10^{-9})$, soit environ 749,48 THz. Chaque photon apporte

L’énergie cinétique maximale des électrons vaut donc environ $3{,}099 - 2{,}29$, soit environ 0,809 eV, et la tension d’arrêt environ 0,809 V. Avec la masse de l’électron, $9{,}109 \times 10^{-31}$ kg, cela correspond à une vitesse $\sqrt{2E/m}$ d’environ 533 km/s, moins de 0,2 % de la vitesse de la lumière : la formule classique de l’énergie cinétique suffit.

Le seuil du potassium. $\nu_0 = W/h \approx 2{,}29 / (4{,}135\,667 \times 10^{-15})$, soit environ 553,7 THz, ce qui correspond à une longueur d’onde d’environ 541 nm, dans le vert. Une lumière rouge de 700 nm, dont les photons n’apportent qu’environ 1,771 eV, n’arrache aucun électron au potassium, même très intense.

Combien de photons ? Un faisceau violet de 1 milliwatt transporte $10^{-3} / (h\nu)$, soit environ $2{,}01 \times 10^{15}$ photons par seconde. C’est le nombre de photons, et donc d’électrons arrachés, qui suit l’intensité.

Une valeur commode. Le produit $hc$ vaut environ 1 239,84 eV·nm : un photon de longueur d’onde $\lambda$ (en nanomètres) a une énergie d’environ $1\,239{,}84/\lambda$ électronvolts.

Pourquoi c’est vrai

L’idée : un bilan d’énergie. La formule est un bilan d’énergie pour un seul électron. Il reçoit l’énergie $h\nu$ d’un seul photon, il en dépense au moins $W$ pour franchir la surface, il garde le reste sous forme d’énergie cinétique. Tout le contenu physique est dans l’hypothèse d’Einstein : la lumière échange son énergie par paquets $h\nu$, et chaque paquet est absorbé en entier par un seul électron.

Ce que la théorie des ondes n’expliquait pas. Si la lumière n’était qu’une onde, son énergie serait répartie continûment sur la surface éclairée : une lumière plus intense devrait donner des électrons plus rapides, et une lumière rouge assez intense, ou un éclairage assez long, devrait finir par arracher des électrons. Or l’expérience montre le contraire : il existe un seuil en fréquence, l’énergie des électrons ne dépend pas de l’intensité, et l’émission commence presque instantanément, même sous un faible éclairement. L’hypothèse des quanta rend compte de ces trois faits à la fois.

La vérification. La formule prédit que $E_{c,\max}$, tracée en fonction de $\nu$, est une droite de pente $h$, la même pour tous les métaux, qui coupe l’axe des fréquences au seuil $\nu_0$ et l’axe des énergies en $-W$. C’est exactement ce que Robert Millikan a mesuré : sa détermination de $h$ par cette pente a confirmé la loi. Ce n’est pas une démonstration au sens mathématique, mais une loi physique validée par l’expérience.

Un peu d’histoire

La découverte de l’effet est attribuée à Heinrich Hertz, qui publie en 1887 que la lumière ultraviolette facilite la production d’étincelles entre deux électrodes. Dès 1888, Wilhelm Hallwachs l’attribue à l’émission de charges négatives. En 1902, Philipp Lenard constate que l’énergie des électrons émis ne dépend pas de l’intensité de la lumière, ce que la théorie des ondes ne permet pas d’expliquer.

En 1905, Albert Einstein publie dans les Annalen der Physik l’article Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (« Sur un point de vue heuristique concernant la production et la transformation de la lumière »), reçu le 18 mars et paru le 9 juin. Il y reprend l’idée de quanta d’énergie introduite par Max Planck en 1900 pour le rayonnement du corps noir, et l’applique à la lumière elle-même.

L’hypothèse est d’abord accueillie avec scepticisme. Robert Millikan, qui n’y croyait pas, mène pendant des années des mesures soigneuses ; en 1914, il établit que l’énergie des électrons croît bien linéairement avec la fréquence, et il publie en 1916 une détermination de $h$ par l’effet photoélectrique. Einstein reçoit le prix Nobel de physique 1921, décerné en 1922, « pour ses services à la physique théorique, et particulièrement pour sa découverte de la loi de l’effet photoélectrique ». Millikan reçoit celui de 1923, notamment pour ces travaux.

Ce que montre l’affiche

Le dessin trace $E_{c,\max}$ en fonction de la fréquence $\nu$ pour sept métaux fictifs dont le travail de sortie va de 2 à 5 eV, par pas de 0,5 eV. Toutes les droites sont parallèles, de pente $h$ : elles ne commencent qu’au seuil $\nu_0 = W/h$, marqué d’un point sur l’axe des fréquences ; en dessous, leur prolongement en pointillés rejoint $-W$ sur l’axe des énergies, là où aucun électron ne sort. Une bande verticale marque la lumière visible, de 380 à 750 nm, soit d’environ 399 à 788 THz. Le dessin est calculé par des programmes écrits pour l’atelier ; l’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La loi de Planck, où la constante $h$ est apparue en 1900.
• E = mc², publiée par Einstein la même année.
• La relativité restreinte, autre article d’Einstein de 1905.
• La vitesse de la lumière, qui relie fréquence et longueur d’onde.
• L’équation de Schrödinger, la mécanique quantique qui a suivi.

Sources : Effet photoélectrique (Wikipédia) (nouvel onglet), Photoelectric effect (Wikipedia) (nouvel onglet), article d’Einstein de 1905 (DOI) (nouvel onglet), article de Millikan de 1916 (DOI) (nouvel onglet), prix Nobel de physique 1921 (NobelPrize.org) (nouvel onglet), travail de sortie des métaux (Wikipedia) (nouvel onglet), constante de Planck (NIST) (nouvel onglet), Annus mirabilis papers (Wikipedia) (nouvel onglet).