La dérivée

Ce que dit la formule

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant le réel $a$. On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le quotient ci-dessous a une limite finie quand $h$ tend vers 0, et cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $a$ :

• $h$ est un petit écart, positif ou négatif, mais jamais nul : le quotient n’est pas défini pour $h = 0$, d’où le passage à la limite.
• $f(a + h) - f(a)$ est la variation de $f$ quand on passe de $a$ à $a + h$.
• Le quotient $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ est le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a + h$. C’est la pente de la sécante, la droite qui passe par les points de la courbe d’abscisses $a$ et $a + h$.
• $\lim_{h \to 0}$ signifie que l’on regarde vers quelle valeur s’approche ce quotient quand $h$ devient aussi proche de 0 qu’on le veut, des deux côtés.
• $f'(a)$, qui se lit « f prime de a », est alors la pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse $a$. Cette tangente a pour équation $y = f(a) + f'(a)\,(x - a)$.

Si la limite n’existe pas, ou si elle est infinie, $f$ n’est pas dérivable en $a$. Quand $f$ est dérivable en tout point d’un intervalle, la fonction $x \mapsto f'(x)$ est la fonction dérivée de $f$.

Un exemple

Prenons $f(x) = x^2$ et $a = 1$, comme sur l’affiche. Pour $h \neq 0$ :

Les pentes des sécantes valent donc exactement :

• $h = 1{,}5$ : $3{,}5$ ;
• $h = 1$ : $3$ ;
• $h = 0{,}5$ : $2{,}5$ ;
• $h = 0{,}25$ : $2{,}25$ ;
• $h = 0{,}1$ : $2{,}1$ ;
• $h = 0{,}01$ : $2{,}01$.

Avec des $h$ négatifs, on s’approche de l’autre côté : $h = -0{,}5$ donne $1{,}5$, $h = -0{,}1$ donne $1{,}9$. Dans les deux cas, $2 + h$ tend vers 2 quand $h$ tend vers 0, donc $f'(1) = 2$. La tangente au point $(1\,;1)$ a pour équation $y = 1 + 2(x - 1)$, soit $y = 2x - 1$.

Le même calcul en un point $a$ quelconque donne $\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = 2a + h$, d’où $f'(a) = 2a$ : la dérivée de $x \mapsto x^2$ est $x \mapsto 2x$.

Autre exemple, où la limite ne se lit pas aussi directement : pour $f(x) = \sqrt{x}$ en $a = 4$, le taux d’accroissement vaut environ $0{,}2360$ pour $h = 1$, $0{,}2484$ pour $h = 0{,}1$, $0{,}2498$ pour $h = 0{,}01$, et tend vers $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = 0{,}25$.

Pourquoi c’est vrai

La formule est une définition : elle dit ce que l’on appelle dérivée. Ce qui demande une justification, c’est qu’elle donne bien la pente de la tangente, et qu’elle mérite son interprétation.

La tangente comme position limite des sécantes. Toutes les sécantes passent par le point $A(a\,;f(a))$. Quand $h$ tend vers 0, le second point glisse le long de la courbe vers $A$, et la sécante pivote autour de $A$. Si sa pente a une limite finie, la droite passant par $A$ avec cette pente est la position limite des sécantes : c’est ainsi que l’on définit la tangente. Pour la parabole, la sécante de pente $2 + h$ se rapproche de la droite $y = 2x - 1$.

La meilleure approximation affine. On peut réécrire la définition : $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si

Près de $a$, la courbe se confond avec sa tangente, à une erreur près qui devient négligeable devant $h$. Pour $x^2$ en 1, l’erreur vaut exactement $h^2$.

Vitesse de convergence. Pour une fonction deux fois dérivable, l’écart entre le taux d’accroissement et $f'(a)$ est de l’ordre de $h$ : il vaut environ $\frac{f''(a)}{2}\,h$. Pour $x^2$, il vaut exactement $h$. C’est pourquoi, en calcul numérique, on préfère souvent le quotient symétrique $\frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}$, dont l’erreur est de l’ordre de $h^2$.

Un contre-exemple. La fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 0 : $\frac{|0 + h| - |0|}{h}$ vaut $1$ pour $h > 0$ et $-1$ pour $h < 0$. Les deux pentes ne se rejoignent pas, la courbe a un angle, et il n’y a pas de limite. Une fonction peut donc être continue sans être dérivable ; en revanche, toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$.

Un peu d’histoire

Des méthodes pour trouver tangentes et extremums existent avant le calcul différentiel, notamment chez Pierre de Fermat et Isaac Barrow au XVIIe siècle. Isaac Newton développe son calcul des « fluxions » en 1665 et 1666, mais son traité n’est publié qu’en 1736. Gottfried Wilhelm Leibniz publie le premier exposé du calcul différentiel en octobre 1684, dans la revue Acta Eruditorum, sous le titre Nova methodus pro maximis et minimis ; la querelle de priorité entre les deux hommes est restée célèbre.

À la fin du XVIIIe siècle, Joseph-Louis Lagrange introduit la notation $f'(x)$ et le nom de « dérivée ». La définition par une limite, telle qu’elle est écrite ici, devient le fondement de l’analyse au XIXe siècle : Augustin-Louis Cauchy place les limites au centre de son Cours d’analyse de 1821, et Karl Weierstrass en donne vers 1861 la formulation rigoureuse « epsilon-delta » encore utilisée aujourd’hui.

Ce que montre l’affiche

La courbe de $y = x^2$, le point $A$ d’abscisse 1, et les cinq sécantes issues de $A$ pour $h = 1{,}5$ ; $1$ ; $0{,}5$ ; $0{,}25$ ; $0{,}1$, avec leurs seconds points marqués sur la courbe. Leur couleur change progressivement à mesure que $h$ diminue, et elles se resserrent sur la tangente, tracée en tirets. Pour la plus grande sécante, l’écart horizontal $h$ et la variation verticale sont indiqués en pointillés. Un tableau, en haut à gauche, donne les pentes calculées par le programme : $3{,}5$, $3$, $2{,}5$, $2{,}25$, $2{,}1$, puis la limite $2 = f'(1)$. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Le théorème fondamental de l’analyse, qui relie la dérivée et l’intégrale.
• Le nombre e, seule base pour laquelle l’exponentielle est sa propre dérivée.
• L’équation de la chaleur, une équation écrite avec des dérivées.
• Dérivée sur Wikipédia (nouvel onglet) et Derivative sur Wolfram MathWorld (nouvel onglet), en anglais.