L’ensemble de Mandelbrot

Ce que dit la formule

Pour chaque nombre complexe $c$, on calcule la suite $z_0 = 0$, $z_1 = c$, $z_2 = c^2 + c$, et ainsi de suite. L’ensemble de Mandelbrot, noté $M$, est l’ensemble des nombres $c$ pour lesquels cette suite reste bornée, c’est-à-dire ne s’éloigne pas indéfiniment de 0.

• $c$ : un nombre complexe $a + b\,i$, avec $i^2 = -1$. On le représente par le point de coordonnées $(a, b)$ du plan : chaque point du plan est donc soit dans l’ensemble, soit dehors.
• $z_n$ : le $n$-ième terme de la suite, lui aussi complexe. Pour l’élever au carré, on utilise $(x + y\,i)^2 = x^2 - y^2 + 2xy\,i$.
• $n$ : le numéro de l’étape (0, 1, 2…).
• $z_0 = 0$ : le point de départ, toujours le même. Seul $c$ change d’un point du plan à l’autre.

Quelques propriétés démontrées : l’ensemble est contenu dans le disque de rayon 2 centré en 0 ; ses points réels forment exactement l’intervalle $[-2 ; 1/4]$ ; il est connexe (d’un seul tenant), résultat d’Adrien Douady et John H. Hubbard. Sa grande partie centrale est délimitée par une cardioïde. Son aire n’est connue qu’approximativement : environ 1,5065.

Le lien avec les ensembles de Julia. On peut aussi fixer $c$ et faire varier le point de départ $z_0$ : les points de départ dont la suite reste bornée forment l’ensemble de Julia rempli associé à $c$. Un théorème remontant aux travaux de Fatou et Julia affirme que cet ensemble est d’un seul tenant exactement quand la suite partie de 0 reste bornée, c’est-à-dire quand $c$ appartient à l’ensemble de Mandelbrot. Celui-ci est donc une carte qui classe tous les ensembles de Julia de la famille $z^2 + c$.

Un exemple

• $c = -1$ : $0, -1, 0, -1, 0, \dots$ La suite tourne en rond : $-1$ est dans l’ensemble.
• $c = i$ : $0,\ i,\ -1 + i,\ -i,\ -1 + i,\ -i, \dots$ (en effet $(-1+i)^2 + i = -2i + i = -i$ et $(-i)^2 + i = -1 + i$). La suite est bornée : $i$ est dans l’ensemble.
• $c = 1$ : $0, 1, 2, 5, 26, 677, \dots$ La suite explose : $1$ n’est pas dans l’ensemble.
• $c = 0{,}3$ : la suite grimpe lentement, $0{,}3$ ; $0{,}39$ ; $0{,}4521$ ; … ; $z_{11} \approx 1{,}375$, puis $z_{12} \approx 2{,}193$, qui dépasse 2. D’après le critère démontré plus bas, la suite tend alors vers l’infini : $0{,}3$ n’est pas dans l’ensemble.
• $c = 0{,}25$ : la suite croît vers $1/2$ sans jamais l’atteindre ($z_{1000} \approx 0{,}499$). En effet, si $0 \le z \le 1/2$, alors $z^2 + 1/4 \le 1/4 + 1/4 = 1/2$. Le point $1/4$ est dans l’ensemble : c’est la pointe de la cardioïde.

Pourquoi c’est vrai

Pour dessiner l’ensemble, on ne peut pas calculer une infinité de termes. Tout repose sur un critère simple, qui se démontre en quelques lignes : si un terme dépasse 2 en module, la suite tend vers l’infini.

Supposons $|z_n| = 2 + \varepsilon$ avec $\varepsilon > 0$, et $|z_n| \ge |c|$. Par l’inégalité triangulaire,

Le module grandit d’un facteur au moins $1 + \varepsilon$, les deux hypothèses restent vraies à l’étape suivante, et ainsi de suite : $|z_n|$ dépasse tout nombre fixé.

• Si $|c| > 2$, alors $z_1 = c$ vérifie les deux hypothèses : la suite s’envole. L’ensemble est donc dans le disque de rayon 2.
• Si $|c| \le 2$ et qu’un terme dépasse 2, ce terme dépasse aussi $|c|$ : même conclusion.

Ainsi, $c$ est dans l’ensemble si et seulement si tous les termes restent de module inférieur ou égal à 2. Pour un réel $c > 1/4$, on a de plus $z_{n+1} - z_n = (z_n - 1/2)^2 + (c - 1/4) \ge c - 1/4 > 0$ : la suite augmente au moins de $c - 1/4$ à chaque étape et part à l’infini. C’est pourquoi l’ensemble s’arrête à $1/4$ sur l’axe réel.

Un peu d’histoire

L’itération des fonctions complexes a été étudiée au début du XXe siècle par Pierre Fatou et Gaston Julia. Une première représentation de l’ensemble paraît en 1978 dans un article de Robert W. Brooks et Peter Matelski. Le 1er mars 1980, au centre de recherche Thomas J. Watson d’IBM, Benoît Mandelbrot en obtient une visualisation par ordinateur, et il publie la même année un article sur le sujet. Dans les années 1980, Adrien Douady et John H. Hubbard en établissent les propriétés fondamentales et lui donnent le nom de Mandelbrot (Wikipédia (nouvel onglet)).

Qu’est-ce qu’une fractale ? Le mot a été forgé par Mandelbrot en 1975, à partir du latin fractus, « brisé », l’année de son livre Les Objets fractals. Il n’existe pas de définition unique. Mandelbrot avait proposé un critère : un ensemble dont la dimension de Hausdorff dépasse strictement la dimension topologique ; il l’a lui-même retiré par la suite, en raison de ses défauts. Dans l’usage, une fractale est une forme qui présente des détails à toutes les échelles, souvent avec une autosimilarité exacte ou approchée. Attention : une dimension non entière n’est pas nécessaire. La frontière de l’ensemble de Mandelbrot a une dimension de Hausdorff égale à 2, résultat de Mitsuhiro Shishikura, alors que c’est une courbe, de dimension topologique 1. L’ensemble contient aussi une infinité de petites copies presque identiques de lui-même.

Ce que montre l’affiche

Le programme de l’atelier parcourt une grille fine de points $c$, de $-2{,}25$ à $0{,}75$ en partie réelle et de $-1{,}25$ à $1{,}25$ en partie imaginaire. Pour chacun, il compte les étapes nécessaires pour que la suite s’éloigne de 0, jusqu’à 400 étapes, avec un léger lissage. Le dessin trace les lignes de niveau de ce nombre d’étapes, de 2 à 399 : les plus extérieures sont lisses et arrondies, puis elles épousent de plus en plus les bourgeons de l’ensemble, dont le contour approché est tracé d’un trait plus appuyé. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La cardioïde, qui délimite le grand corps de l’ensemble.
• L’attracteur de Lorenz, autre objet fractal, venu de la météorologie.
• La formule d’Euler, pour manier les nombres complexes.