L’équation de la chaleur

Ce que dit la formule

On considère une barre mince et homogène, isolée sur toute sa surface latérale (la chaleur ne circule que le long de la barre), sans source de chaleur à l’intérieur. Si $u(x, t)$ désigne la température au point d’abscisse $x$ et à l’instant $t$, alors

En clair : la vitesse à laquelle la température change en un point est proportionnelle à la courbure du profil de température en ce point. Un point plus froid que la moyenne de ses voisins (profil creusé) se réchauffe ; un point chaud au sommet d’une bosse se refroidit.

L’équation seule ne suffit pas à connaître la température. Il faut lui ajouter la température initiale $u(x, 0)$ et des conditions aux bords, par exemple des extrémités maintenues à température fixe. Sur une barre de longueur finie, avec ces données, le problème a une solution et une seule.

• $u(x, t)$ : la température (en kelvins ou en degrés Celsius) au point $x$ (en mètres) à l’instant $t$ (en secondes).
• $\frac{\partial u}{\partial t}$ : la dérivée partielle par rapport au temps, c’est-à-dire la vitesse de variation de la température en un point fixé.
• $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ : la dérivée seconde par rapport à la position, à instant fixé ; elle mesure la courbure du profil de température.
• $\alpha > 0$ : la diffusivité thermique du matériau, en m²/s. Elle vaut $\alpha = \frac{\lambda}{\rho\, c}$, où $\lambda$ est la conductivité thermique, $\rho$ la masse volumique et $c$ la capacité thermique massique. Ordres de grandeur : environ $1{,}11 \times 10^{-4}$ m²/s pour le cuivre, environ $1{,}43 \times 10^{-7}$ m²/s pour l’eau à 25 °C.

Dans un solide en trois dimensions, la même loi s’écrit $\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\, \Delta u$, où le laplacien $\Delta u$ est la somme des trois dérivées secondes selon $x$, $y$ et $z$.

Un exemple

Prenons une barre de cuivre de longueur $L = 1$ m dont les deux extrémités sont maintenues à 0 °C. Supposons qu’à l’instant initial la température suive un arc de sinus, maximal au milieu : $u(x, 0) = U_0 \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)$.

La fonction $u(x, t) = U_0\, e^{-\alpha \pi^2 t / L^2} \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)$ est la solution. Vérifions-le pas à pas.

1. Dérivée par rapport au temps : $\frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{\alpha \pi^2}{L^2}\, u$.
2. Dérivée seconde par rapport à $x$ : $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -\frac{\pi^2}{L^2}\, u$, donc $\alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -\frac{\alpha \pi^2}{L^2}\, u$ : les deux membres sont égaux.
3. En $x = 0$ et $x = L$, le sinus est nul : les extrémités restent à 0 °C. À $t = 0$, on retrouve le profil de départ.

Le profil garde sa forme d’arc, mais sa hauteur décroît exponentiellement, avec un temps caractéristique $\tau = \frac{L^2}{\alpha \pi^2}$. Avec $\alpha = 1{,}11 \times 10^{-4}$ m²/s :

soit un peu plus de 15 minutes pour que l’écart de température soit divisé par $e \approx 2{,}718$. Il est divisé par deux au bout de $\tau \ln 2$, environ 632 secondes (10 min 32 s).

Pour une barre de 10 cm, $\tau$ tombe à environ 9,12 secondes : une barre dix fois plus courte s’égalise cent fois plus vite, car le temps de diffusion varie comme le carré de la longueur. Ce calcul néglige les pertes par la surface de la barre, que le modèle suppose isolée.

Pourquoi c’est vrai

Ce n’est pas un théorème de mathématiques : l’équation découle de deux lois physiques.

1. La loi de Fourier. Le flux de chaleur $\varphi$ (en watts par mètre carré) qui traverse une section de la barre va du chaud vers le froid et est proportionnel à la pente de la température : $\varphi = -\lambda\, \frac{\partial u}{\partial x}$.
2. La conservation de l’énergie. Isolons une tranche de barre entre $x$ et $x + \mathrm{d}x$, de section $S$. Par unité de temps, elle reçoit $S\,\varphi(x)$ par la gauche et perd $S\,\varphi(x + \mathrm{d}x)$ par la droite. Cette différence sert à la chauffer : elle vaut $\rho\, c\, S\, \mathrm{d}x\, \frac{\partial u}{\partial t}$.

En divisant par $S\, \mathrm{d}x$ et en faisant tendre $\mathrm{d}x$ vers 0, on obtient $\rho\, c\, \frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{\partial \varphi}{\partial x} = \lambda\, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ lorsque $\lambda$ est constante. Il reste à diviser par $\rho\, c$.

Pour résoudre l’équation, Fourier a eu l’idée de décomposer la température initiale en une somme de sinus $\sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right)$. Chacun se comporte comme dans l’exemple ci-dessus, mais s’éteint avec le facteur $e^{-\alpha n^2 \pi^2 t / L^2}$ : les ondulations fines (grands $n$) disparaissent très vite, ce qui explique que la chaleur lisse toujours les irrégularités. Justifier rigoureusement cette décomposition, la série de Fourier, a occupé les mathématiciens pendant tout le XIXe siècle.

Un peu d’histoire

Joseph Fourier (1768-1830) commence à étudier la propagation de la chaleur alors qu’il est préfet de l’Isère, à Grenoble. Le 21 décembre 1807, il présente à l’Institut de France un mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides. Lagrange et Laplace contestent notamment l’idée de développer des fonctions quelconques en séries trigonométriques.

L’Institut met le sujet au concours pour son prix de mathématiques de 1811. Fourier remporte le prix, mais le rapport du jury émet des réserves sur la généralité et la rigueur de son analyse. Son grand ouvrage, la Théorie analytique de la chaleur, paraît finalement en 1822. Les séries qui portent son nom sont devenues l’un des outils centraux des mathématiques et de la physique.

Ce que montre l’affiche

Le dessin montre une barre dont la moitié centrale, de $\frac{1}{4}$ à $\frac{3}{4}$ de la longueur, est portée à une température uniforme, les extrémités restant à 0 (profil en créneau, en pointillés). Dix courbes, du premier instant au dernier, montrent la température calculée par la solution de Fourier, une série de 200 sinus. Les angles du créneau s’arrondissent, la bosse s’affaisse et s’élargit ; à la dernière date tracée, le centre ne garde plus qu’environ 15 % de sa température initiale et le profil est presque un arc de sinus pur. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La série de Fourier, née de ce problème de la chaleur.
• La transformée de Fourier, qui résout l’équation sur une barre infinie.
• La loi normale : sur une barre infinie, une chaleur concentrée en un point s’étale exactement en courbe de Gauss, dont la variance $2\alpha t$ grandit avec le temps.
• L’intégrale de Gauss, qui sert à normaliser cette courbe.

Sources : Équation de la chaleur (Wikipédia) (nouvel onglet), Heat Conduction Equation (MathWorld) (nouvel onglet), Fourier, Théorie analytique de la chaleur (Gallica) (nouvel onglet), biographie de Fourier (MacTutor) (nouvel onglet), diffusivités thermiques (Wikipedia) (nouvel onglet).