La relation de Chasles

Ce que dit la relation

Pour trois points quelconques $A$, $B$ et $C$ du plan ou de l’espace :

• $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur qui va de $A$ à $B$ : il a une direction, un sens et une longueur.
• $\overrightarrow{BC}$ est le vecteur qui va de $B$ à $C$ ; il part du point d’arrivée du premier.
• $\overrightarrow{AC}$ est le vecteur qui va directement de $A$ à $C$.

Aucune condition n’est imposée aux points : ils peuvent être alignés, confondus, ou placés n’importe où. La seule exigence porte sur l’écriture : la lettre qui termine le premier vecteur doit commencer le second. Ainsi $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$ n’est pas égal à $\overrightarrow{AC}$ en général.

Attention, l’égalité porte sur des vecteurs, pas sur des longueurs. Les distances vérifient seulement l’inégalité triangulaire $AC \leq AB + BC$.

Quelques conséquences immédiates :

• $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}$, donc $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$.
• Pour une chaîne de points, $\overrightarrow{P_0P_1} + \overrightarrow{P_1P_2} + \dots + \overrightarrow{P_{n-1}P_n} = \overrightarrow{P_0P_n}$.
• On peut faire apparaître n’importe quel point : pour tout point $M$, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC}$. C’est un outil de base des démonstrations en géométrie.

La même relation se retrouve sous d’autres formes, qui portent aussi le nom de Chasles en France :

• Mesures algébriques sur une droite orientée : $\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}$, où $\overline{AB}$ est la longueur $AB$ précédée du signe + si l’on va de $A$ vers $B$ dans le sens de la droite, et du signe − sinon. Elle reste vraie même quand $B$ n’est pas entre $A$ et $C$.
• Intégrales : pour une fonction $f$ continue sur un intervalle contenant $a$, $b$ et $c$, $\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx$, quel que soit l’ordre de $a$, $b$ et $c$.
• Angles orientés de vecteurs non nuls : $(\vec{u}, \vec{v}) + (\vec{v}, \vec{w}) = (\vec{u}, \vec{w})$, à un multiple de $2\pi$ près.

Des exemples

Avec des coordonnées. Prenons $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,-1)$ et $C(-2\,;\,3)$. Les coordonnées d’un vecteur s’obtiennent en retranchant celles du point de départ de celles du point d’arrivée :

• $\overrightarrow{AB} = (4 - 1\,;\,-1 - 2) = (3\,;\,-3)$ ;
• $\overrightarrow{BC} = (-2 - 4\,;\,3 - (-1)) = (-6\,;\,4)$ ;
• leur somme vaut $(3 - 6\,;\,-3 + 4) = (-3\,;\,1)$, et l’on trouve bien $\overrightarrow{AC} = (-2 - 1\,;\,3 - 2) = (-3\,;\,1)$.

Sur un axe. Sur une droite graduée, plaçons $A$ en 2, $B$ en 7 et $C$ en −1. Alors $\overline{AB} = 7 - 2 = 5$, $\overline{BC} = -1 - 7 = -8$ et $\overline{AC} = -1 - 2 = -3$ : on a bien $5 + (-8) = -3$, alors que $B$ n’est pas entre $A$ et $C$.

Un déplacement. Une personne marche 3 km vers l’est, puis 4 km vers le nord. Elle a parcouru 7 km, mais son déplacement total, la somme des deux vecteurs, la place à $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ km de son point de départ.

Avec une intégrale. $\int_0^2 x\,dx = 2$ et $\int_2^3 x\,dx = \frac{9}{2} - 2 = \frac{5}{2}$ ; leur somme, $\frac{9}{2}$, est bien $\int_0^3 x\,dx$.

Pourquoi c’est vrai

Tout dépend de la façon dont on définit les vecteurs.

Avec les translations, définition géométrique du vecteur : le vecteur $\overrightarrow{AB}$ représente la translation qui envoie $A$ sur $B$, et l’on définit la somme de deux vecteurs comme le vecteur de la translation obtenue en effectuant l’une puis l’autre. La translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ envoie $A$ sur $B$, puis celle de vecteur $\overrightarrow{BC}$ envoie $B$ sur $C$ : l’ensemble envoie $A$ sur $C$, c’est la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$. Dans cette présentation, la relation de Chasles est presque la définition de l’addition.

Avec des coordonnées, dans un repère : si $A(x_A\,;\,y_A)$, $B(x_B\,;\,y_B)$ et $C(x_C\,;\,y_C)$, alors

car les coordonnées de $B$ s’éliminent. Le calcul est identique dans l’espace avec une troisième coordonnée, et sur un axe avec une seule : c’est la forme des mesures algébriques.

Pour les intégrales, si $F$ est une primitive de $f$, le théorème fondamental de l’analyse donne $\int_a^b f = F(b) - F(a)$, et le même jeu d’élimination fournit $\big(F(b) - F(a)\big) + \big(F(c) - F(b)\big) = F(c) - F(a)$.

Un peu d’histoire

La relation porte le nom du mathématicien français Michel Chasles (1793-1880), professeur de géométrie supérieure à la Sorbonne. Dans la préface de son Traité de géométrie supérieure (1852), il défend l’usage général et systématique du « principe des signes », qui donne un sens aux segments et aux angles. Mais la propriété était déjà utilisée bien avant lui, et le rattachement de son nom est surtout une habitude de l’enseignement francophone. En anglais, elle n’a pas de nom particulier : c’est l’une des règles de base du calcul vectoriel, que certains exposés prennent comme axiome.

La notion de vecteur elle-même s’est formée progressivement au cours du XIXe siècle, en même temps que l’algèbre des grandeurs orientées que Chasles défendait en géométrie.

Ce que montre l’affiche

Le programme place deux points $A$ et $C$, puis six points $B$ répartis sur un cercle qui les entoure. Pour chacun, il dessine le chemin fait des deux flèches $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ ; l’un d’eux est mis en valeur avec le nom de ses points. Avant de tracer le vecteur $\overrightarrow{AC}$, en couleur vive, il vérifie par le calcul que, pour les six points $B$, la somme des deux vecteurs a exactement les coordonnées de $\overrightarrow{AC}$ : les six détours, très différents, mènent tous au même déplacement. Comme tous les dessins de la boutique, il est calculé par des programmes écrits pour l’atelier, à partir de la formule elle-même, et existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• L’inégalité triangulaire, la version des longueurs.
• Le théorème d’Al-Kashi, qui se démontre avec la relation de Chasles et le produit scalaire.
• Le produit scalaire, autre opération sur les vecteurs.
• Le théorème fondamental de l’analyse, pour la forme intégrale.