Le triangle de Pascal

Ce que dit la formule

La formule est la règle de construction du triangle. Pour tous les entiers $n$ et $k$ tels que $1 \leq k \leq n-1$ :

• $n$ est le numéro de la ligne, en commençant à $0$ pour la ligne du sommet.
• $k$ est la position dans la ligne, en commençant à $0$ à gauche ; la ligne $n$ contient $n + 1$ nombres, de $k = 0$ à $k = n$.
• $\binom{n}{k}$, qui se lit « $k$ parmi $n$ », est le coefficient binomial : le nombre de façons de choisir $k$ objets parmi $n$ objets distincts, sans tenir compte de l’ordre. Il vaut $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$, où $n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n$ et $0! = 1$.
• Les bords du triangle valent $1$ : $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ (il y a une seule façon de ne rien choisir, et une seule de tout prendre). La condition $1 \leq k \leq n-1$ (qui suppose $n \geq 2$) exclut justement ces bords, au-dessus desquels il n’y a qu’un seul voisin.

En plaçant chaque ligne sous la précédente, décalée d’un demi-cran, chaque nombre se trouve entre les deux nombres dont il est la somme. Le triangle est symétrique : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, car choisir les $k$ objets que l’on prend revient à choisir les $n - k$ que l’on laisse.

Un exemple

Voici les huit premières lignes, de $n = 0$ à $n = 7$ :

• $1$
• $1 \quad 1$
• $1 \quad 2 \quad 1$
• $1 \quad 3 \quad 3 \quad 1$
• $1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$
• $1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1$
• $1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1$
• $1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1$

Prenons $n = 5$ et $k = 2$. La règle donne $\binom{5}{2} = \binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 4 + 6 = 10$. On retrouve bien $\frac{5!}{2!\,3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$ : il y a $10$ façons de choisir $2$ personnes dans un groupe de $5$.

La ligne $4$ donne aussi les coefficients du développement de $(a+b)^4$ :

Enfin, la somme des nombres de la ligne $n$ vaut $2^n$ : par exemple $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4$. C’est le nombre total de façons de choisir une partie quelconque d’un ensemble de $4$ objets.

Le triangle sert aussi en probabilités. Lançons $10$ fois une pièce équilibrée : il y a $2^{10} = 1\,024$ suites de résultats possibles, toutes également probables, et $\binom{10}{5} = 252$ d’entre elles comportent exactement $5$ « pile ». La probabilité d’obtenir exactement $5$ « pile » vaut donc $\frac{252}{1\,024} \approx 0{,}2460$, soit moins d’une chance sur quatre.

Pourquoi c’est vrai

Prenons $n$ objets, et choisissons-en $k$, avec $1 \leq k \leq n-1$. Mettons à part l’un des objets, appelons-le $A$. Deux cas, qui ne se recouvrent pas, sont possibles :

• $A$ fait partie du choix : il reste à choisir $k - 1$ objets parmi les $n - 1$ autres, ce qui fait $\binom{n-1}{k-1}$ possibilités ;
• $A$ n’en fait pas partie : il faut choisir les $k$ objets parmi les $n - 1$ autres, soit $\binom{n-1}{k}$ possibilités.

En additionnant les deux cas, on obtient exactement $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$.

Le lien avec le développement de $(a+b)^n$ (la formule du binôme) se démontre de la même manière. On écrit $(a+b)^n = (a+b)\,(a+b)^{n-1}$ : le terme en $a^{n-k}b^k$ provient soit d’un $a$ multiplié par le terme en $a^{n-1-k}b^k$ de $(a+b)^{n-1}$, soit d’un $b$ multiplié par le terme en $a^{n-k}b^{k-1}$. Les coefficients obéissent donc à la même règle, avec les mêmes bords égaux à $1$ : ce sont les nombres du triangle. D’où, pour tout entier $n \geq 0$,

Un peu d’histoire

Le triangle porte le nom de Blaise Pascal, mais il était connu bien avant lui, dans plusieurs régions du monde.

• En Inde, les études de métrique sanskrite comptaient les combinaisons de syllabes ; au Xe siècle, le commentateur Halayudha décrit une construction équivalente au triangle.
• Dans le monde persan et arabe, al-Karaji (953-1029) en donne une description dans un ouvrage aujourd’hui perdu, connu par des auteurs postérieurs. Omar Khayyam (XIe siècle) s’en sert pour extraire des racines ; en Iran, on parle encore du triangle de Khayyam.
• En Chine, Yang Hui le présente en 1261 et l’attribue à Jia Xian, mathématicien du XIe siècle ; Zhu Shijie le reprend en 1303. En Chine, on parle du triangle de Yang Hui.
• En Europe, Petrus Apianus le publie en 1527 sur la page de titre d’un ouvrage d’arithmétique ; Michael Stifel et Niccolò Tartaglia l’étudient ensuite. En Italie, on parle du triangle de Tartaglia.

Pascal lui consacre son Traité du triangle arithmétique, imprimé en 1654 mais diffusé seulement en 1665, après sa mort survenue en 1662. Il y démontre de nombreuses propriétés en utilisant un raisonnement par récurrence très abouti, et s’en sert pour résoudre des problèmes de probabilités. Le nom de « triangle de Pascal » s’impose ensuite : Pierre Rémond de Montmort parle de la table de M. Pascal en 1708, et Abraham de Moivre l’appelle Triangulum Arithmeticum Pascalianum en 1730.

Quant au « binôme de Newton », il porte ce nom parce qu’Isaac Newton a étendu la formule, dans les années 1660, à des exposants qui ne sont pas des entiers naturels ; pour les exposants entiers, elle était connue bien avant lui.

Ce que montre l’affiche

Le dessin montre les $64$ premières lignes du triangle, de $n = 0$ à $n = 63$, soit $2\,080$ nombres, calculées par le programme avec la seule règle de la formule (en ne gardant que le reste dans la division par $8$, qui suffit pour savoir si un nombre est pair ou impair). Les $729$ nombres impairs sont en couleur, en deux teintes selon le reste dans la division par $4$ ; les nombres pairs restent pâles. Les nombres impairs dessinent un triangle de Sierpiński, la figure fractale décrite par Wacław Sierpiński en 1915 : dans les $2^m$ premières lignes, on compte exactement $3^m$ nombres impairs, ici $3^6 = 729$. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La suite de Fibonacci : en additionnant les nombres du triangle le long de diagonales peu inclinées, on obtient ses termes, par exemple $1 + 5 + 6 + 1 = 13$.
• La loi normale, vers laquelle tendent les lignes du triangle, une fois remises à l’échelle, quand $n$ grandit.
• Les nombres premiers : si $p$ est premier, tous les nombres de la ligne $p$, sauf les deux $1$ des bords, sont divisibles par $p$.