Les équations d’Einstein

Ce que dit la formule

À gauche, la géométrie de l’espace-temps ; à droite, son contenu en matière et en énergie. La gravitation n’y est plus une force : c’est la courbure de l’espace-temps, et les corps en chute libre y suivent les trajectoires les plus « droites » possibles. Selon la formule résumée par le physicien John Wheeler, la matière dit à l’espace-temps comment se courber, et l’espace-temps dit à la matière comment se mouvoir.

Les indices $\mu$ et $\nu$ prennent les valeurs 0, 1, 2, 3 (le temps et les trois dimensions d’espace). Chaque membre est un tableau symétrique de 4 × 4 nombres : l’écriture compacte rassemble donc 10 équations aux dérivées partielles, non linéaires, dont l’inconnue est la métrique. Les signes ci-dessus suivent la convention la plus répandue aujourd’hui, avec une métrique de signature (−, +, +, +) ; d’autres conventions déplacent des signes moins sans changer la physique.

• $g_{\mu\nu}$ : la métrique. Elle donne la « distance » entre deux événements voisins de l’espace-temps, et donc les durées et les longueurs mesurées.
• $G_{\mu\nu}$ : le tenseur d’Einstein, $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2} R\, g_{\mu\nu}$, où $R_{\mu\nu}$ (tenseur de Ricci) et $R$ (courbure scalaire) mesurent la courbure. Il se calcule à partir de la métrique et de ses dérivées premières et secondes.
• $\Lambda$ (lambda) : la constante cosmologique, en m⁻². Elle agit comme une énergie propre au vide.
• $T_{\mu\nu}$ : le tenseur énergie-impulsion. Il décrit la densité d’énergie (donc de masse), la densité et le flux de quantité de mouvement, la pression et les contraintes.
• $G$ : la constante de gravitation de Newton, environ $6{,}674\,30 \times 10^{-11}$ m³·kg⁻¹·s⁻².
• $c$ : la vitesse de la lumière, 299 792 458 m/s exactement.

Le facteur $8\pi G/c^4$ vaut environ $2{,}076 \times 10^{-43}$ s²·kg⁻¹·m⁻¹. Il est minuscule : il faut d’énormes concentrations d’énergie pour courber notablement l’espace-temps.

Un exemple

En 1915-1916, Karl Schwarzschild trouve la solution qui décrit l’espace-temps à l’extérieur d’un astre sphérique, sans rotation, entouré de vide (avec $\Lambda = 0$). Elle fait apparaître une longueur caractéristique, le rayon de Schwarzschild :

Pour le Soleil, le produit $GM$ vaut environ $1{,}327\,12 \times 10^{20}$ m³/s² (fiche NASA (nouvel onglet)). On obtient $r_s = 2 \times 1{,}327\,12 \times 10^{20} / 299\,792\,458^2 \approx 2\,953$ m, soit environ 3 km. Pour la Terre ($GM \approx 3{,}986\,0 \times 10^{14}$ m³/s²), $r_s \approx 8{,}87$ mm.

Ces rayons sont minuscules devant ceux des astres eux-mêmes : le rayon du Soleil est d’environ 695 700 km, si bien que $r_s$ n’en représente qu’environ quatre millionièmes. C’est pourquoi la gravitation de Newton suffit dans la plupart des calculs du système solaire. Un astre plus petit que son rayon de Schwarzschild serait un trou noir.

La déviation de la lumière. La même solution prédit qu’un rayon lumineux qui frôle le bord du Soleil est dévié d’un angle $\delta = 4GM/(c^2 R) = 2 r_s / R$. Avec les valeurs ci-dessus : $\delta = 2 \times 2\,953 / 695\,700\,000 \approx 8{,}48 \times 10^{-6}$ radian, soit environ 1,75 seconde d’arc. C’est deux fois la valeur qu’on obtient en traitant la lumière comme un projectile soumis à la seule gravitation de Newton, et c’est cette prédiction que les observations de l’éclipse de 1919 ont confrontée aux deux théories.

Pourquoi c’est vrai

Comme toute loi physique, ces équations ne se démontrent pas : elles se testent. On peut toutefois expliquer pourquoi elles ont cette forme, et pas une autre.

Einstein cherchait des équations valables dans n’importe quel système de coordonnées, ne faisant intervenir que la métrique et ses dérivées jusqu’à l’ordre deux, et compatibles avec la conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement. Le tenseur d’Einstein a exactement la bonne propriété : sa « divergence » est nulle, identiquement. En 1971, David Lovelock a démontré qu’en dimension 4, sous ces hypothèses, les seuls choix possibles sont des combinaisons de $G_{\mu\nu}$ et de $g_{\mu\nu}$ : c’est le membre de gauche.

Le coefficient $8\pi G/c^4$ est fixé par la limite des champs faibles et des vitesses lentes : les équations doivent alors redonner la gravitation de Newton, c’est-à-dire l’équation $\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho$ pour le potentiel $\Phi$ créé par une densité de masse $\rho$.

Les vérifications sont nombreuses : l’avance du périhélie de Mercure, d’environ 43 secondes d’arc par siècle, inexpliquée par Newton ; la déviation de la lumière des étoiles par le Soleil, mesurée lors de l’éclipse du 29 mai 1919 ; la détection directe des ondes gravitationnelles, annoncée en février 2016 par la collaboration LIGO (Tests of general relativity (nouvel onglet)).

Un peu d’histoire

Albert Einstein travaille à une théorie relativiste de la gravitation à partir de 1907. Après plusieurs communications à l’Académie des sciences de Prusse en novembre 1915, il présente la forme définitive des équations le 25 novembre 1915, sous le titre Die Feldgleichungen der Gravitation. Le mathématicien David Hilbert travaillait au même moment sur la même question ; la part de chacun a fait l’objet de discussions entre historiens.

En 1917, dans Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie, Einstein ajoute le terme $\Lambda\, g_{\mu\nu}$ pour obtenir un univers statique. Il l’abandonne après la découverte de l’expansion de l’Univers. Depuis la mise en évidence, en 1998, de l’accélération de cette expansion, une constante cosmologique positive est la manière la plus simple d’en rendre compte.

Ce que montre l’affiche

Le dessin représente l’espace autour d’une masse ponctuelle selon la solution de Schwarzschild, sous la forme du paraboloïde de Flamm (Ludwig Flamm, 1916) : une surface d’équation $z = 2\sqrt{r_s (r - r_s)}$, tracée de $r_s$ à $9\, r_s$ et vue en perspective. Les cercles se resserrent vers le centre, et le cercle épais intérieur correspond à $r = r_s$. Cette surface montre la géométrie d’une tranche d’espace à un instant donné : la hauteur est un artifice de visualisation, sans signification physique. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La loi de la gravitation universelle, que la relativité générale prolonge.
• E = mc², issue de la relativité restreinte de 1905.
• Les équations de Maxwell, l’autre grande théorie des champs de la physique classique.