La loi de Planck

Ce que dit la formule

La formule s’applique à un corps noir : un objet idéal qui absorbe tout le rayonnement qu’il reçoit, en équilibre thermique à la température $T$. Son rayonnement ne dépend alors que de cette température, pas de la matière dont il est fait. Un four percé d’un petit trou en est une bonne réalisation. Les corps réels (braises, filament, étoiles) émettent moins qu’un corps noir, et leur spectre s’en approche plus ou moins.

• $B_\nu(T)$ : la luminance spectrale : la puissance rayonnée par mètre carré de surface, par unité d’angle solide (le stéradian, sr) et par hertz de fréquence, en W·m⁻²·Hz⁻¹·sr⁻¹.
• $\nu$ (« nu ») : la fréquence du rayonnement, en hertz (Hz). La lumière visible va d’environ 400 à 790 THz.
• $T$ : la température absolue, en kelvins (K).
• $h$ : la constante de Planck, $h = 6{,}626\,070\,15 \times 10^{-34}$ J·s, valeur exacte.
• $k_B$ : la constante de Boltzmann, $k_B = 1{,}380\,649 \times 10^{-23}$ J/K, valeur exacte.
• $c$ : la vitesse de la lumière dans le vide, $c = 299\,792\,458$ m/s, valeur exacte.
• $e$ : la base de l’exponentielle, le nombre e.

La constante de Planck. $h$ relie l’énergie d’un quantum de lumière (un photon) à sa fréquence : $E = h\nu$. On utilise aussi la constante réduite $\hbar = h/2\pi \approx 1{,}054\,571\,817 \times 10^{-34}$ J·s. Depuis le 20 mai 2019, la valeur de $h$ est fixée exactement par le Système international, ainsi que $k_B$ et $c$ (NIST (nouvel onglet)). C’est elle qui définit le kilogramme : son unité, le J·s, vaut kg·m²·s⁻¹ ; le mètre et la seconde étant déjà définis, fixer $h$ fixe le kilogramme (BIPM (nouvel onglet)). Cette décision a été prise par la 26e Conférence générale des poids et mesures, le 16 novembre 2018 ; elle remplace l’ancien cylindre étalon conservé près de Paris.

Un exemple

Prenons $T = 5\,772$ K, la température effective du Soleil (fiche NASA (nouvel onglet)), et une lumière orangée de fréquence $\nu = 5 \times 10^{14}$ Hz (longueur d’onde 600 nm).

1. Énergie d’un photon : $h\nu \approx 3{,}313 \times 10^{-19}$ J.
2. Énergie thermique : $k_B T \approx 7{,}969 \times 10^{-20}$ J.
3. Leur rapport : $h\nu / k_B T \approx 4{,}157$, d’où $e^{h\nu / k_B T} - 1 \approx 62{,}90$.
4. Premier facteur : $2h\nu^3/c^2 \approx 1{,}843 \times 10^{-6}$.
5. Résultat : $B_\nu \approx 1{,}843 \times 10^{-6} / 62{,}90 \approx 2{,}93 \times 10^{-8}$ W·m⁻²·Hz⁻¹·sr⁻¹.

Deux conséquences. La loi de Wien situe le sommet de la courbe : en fréquence, $\nu_{\max} \approx 5{,}878\,925\,757 \times 10^{10}\ \mathrm{Hz/K} \times T$, soit environ 339,3 THz pour le Soleil (proche infrarouge). En longueur d’onde, on utilise une autre version : $\lambda_{\max}\, T \approx 2{,}897\,771\,955 \times 10^{-3}$ m·K, soit environ 502 nm (vert). Les deux sommets ne se correspondent pas, car la courbe change de forme quand on passe des fréquences aux longueurs d’onde. La loi de Stefan-Boltzmann donne la puissance totale émise par mètre carré : $M = \sigma T^4$, avec $\sigma \approx 5{,}670\,374\,419 \times 10^{-8}$ W·m⁻²·K⁻⁴, soit environ $6{,}29 \times 10^{7}$ W/m² à 5 772 K.

Pourquoi c’est vrai

Voici la dérivation moderne, qui n’est pas exactement le chemin suivi par Planck.

Dans une cavité, le rayonnement se décompose en ondes stationnaires, les « modes ». On admet un résultat classique : il y a $8\pi\nu^2/c^3$ modes par unité de volume et par unité de fréquence. Reste à savoir quelle énergie moyenne porte chaque mode.

L’hypothèse décisive est que l’énergie d’un mode ne peut valoir que $0, h\nu, 2h\nu, \dots$ La probabilité de l’énergie $nh\nu$ est proportionnelle à $e^{-n x}$ (loi de Boltzmann), avec $x = h\nu/k_B T$. Avec les sommes géométriques $\sum e^{-nx} = 1/(1 - e^{-x})$ et $\sum n\, e^{-nx} = e^{-x}/(1 - e^{-x})^2$, l’énergie moyenne vaut

En multipliant par le nombre de modes, puis par $c/4\pi$ pour passer de l’énergie contenue dans la cavité au rayonnement sortant par unité d’angle solide, on obtient exactement la formule.

Aux basses fréquences, $e^x - 1 \approx x$ et la formule devient $2\nu^2 k_B T/c^2$ : c’est la loi classique de Rayleigh-Jeans, dont l’intégrale est infinie (la « catastrophe ultraviolette »). Le quantum $h\nu$ coupe les hautes fréquences et rend tout fini : l’intégrale de $B_\nu$ fait apparaître $\int_0^\infty x^3/(e^x-1)\,\mathrm{d}x = \pi^4/15$, d’où la loi de Stefan-Boltzmann. Annuler la dérivée donne l’équation $3(1 - e^{-x}) = x$, dont la solution $x \approx 2{,}821\,439$ fournit la loi de Wien.

Un peu d’histoire

Le rayonnement du corps noir était un problème ouvert depuis les travaux de Gustav Kirchhoff, vers 1860. Le 19 octobre 1900, Max Planck propose sa formule, qui s’accorde avec les mesures de Heinrich Rubens et Ferdinand Kurlbaum. Le 14 décembre 1900, devant la Société allemande de physique, il en présente une justification fondée sur des « éléments d’énergie » proportionnels à la fréquence : c’est la première apparition de la constante $h$, qu’il appelle « quantum élémentaire d’action ».

Planck voyait d’abord cette quantification comme une hypothèse formelle, et non comme une propriété de la lumière elle-même (Wikipédia, Planck’s law (nouvel onglet)). C’est Albert Einstein qui, en 1905, propose que la lumière elle-même soit faite de quanta d’énergie $h\nu$. La constante de Planck est devenue la constante centrale de la mécanique quantique.

Ce que montre l’affiche

Le dessin trace la loi de Planck calculée pour sept températures, de 3 000 K à 6 000 K de 500 en 500, sur des fréquences allant de 0 à 1 000 THz. Chaque courbe est légèrement teintée en dessous. Plus le corps est chaud, plus la courbe est haute et plus son sommet se déplace vers les hautes fréquences ; la ligne en pointillé suit ce sommet, conformément à la loi de Wien. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• L’équation de Schrödinger, où la constante de Planck réduite $\hbar$ joue le premier rôle.
• E = mc², l’autre grande formule d’Einstein et de la physique du XXe siècle.
• La fonction zêta de Riemann : la valeur $\pi^4/15$ vient de $\zeta(4) = \pi^4/90$.