Le problème de Bâle

Ce que dit la formule

La formule affirme que la somme infinie des inverses des carrés des entiers strictement positifs converge, et que sa valeur exacte est $\frac{\pi^2}{6}$ :

• $n$ parcourt les entiers $1, 2, 3, \ldots$ ; le terme général est $\frac{1}{n^2}$, l’inverse du carré de $n$.
• $\sum_{n=1}^{\infty}$ désigne une somme infinie : c’est la limite des sommes partielles $S_N = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{N^2}$ quand $N$ grandit.
• $\pi \approx 3{,}141\,59$ est le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre.

En décimales, $\frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}644\,934\,066\,8\ldots$ Ce nombre est aussi la valeur en $2$ de la fonction zêta de Riemann : $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$.

Le résultat n’a rien d’évident. Que les termes deviennent de plus en plus petits ne suffit pas pour que la somme reste finie : la somme des inverses $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots$ (la série harmonique) dépasse n’importe quel nombre si l’on va assez loin. Avec les carrés, les termes décroissent assez vite pour que la somme ait une limite, et cette limite fait apparaître $\pi$, alors qu’aucun cercle n’est en vue.

Un exemple

Calculons les premières sommes partielles :

• $S_1 = 1$
• $S_2 = 1 + \frac{1}{4} = 1{,}25$
• $S_3 = 1{,}25 + \frac{1}{9} \approx 1{,}3611$
• $S_4 = S_3 + \frac{1}{16} \approx 1{,}4236$

En poursuivant, on trouve environ $1{,}5497$ pour $N = 10$, $1{,}6349$ pour $N = 100$ et $1{,}6439$ pour $N = 1\,000$, à comparer avec $\frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}6449$. La convergence est lente : l’écart $\frac{\pi^2}{6} - S_N$ est toujours compris entre $\frac{1}{N+1}$ et $\frac{1}{N}$. Avec $1\,000$ termes, il reste environ $0{,}000\,999\,5$ à ajouter ; pour gagner une décimale, il faut dix fois plus de termes.

Cet encadrement donne aussi une astuce de calcul : puisque le reste vaut à peu près $\frac{1}{N}$, on l’ajoute. Pour $N = 1\,000$, $S_{1\,000} + \frac{1}{1\,000} \approx 1{,}644\,934\,566$, qui ne s’écarte plus de $\frac{\pi^2}{6}$ que d’environ $5 \times 10^{-7}$ : six décimales justes au lieu de deux.

Une conséquence inattendue. L’inverse $\frac{6}{\pi^2} \approx 0{,}6079$ a lui aussi un sens concret. Prenez tous les couples d’entiers $(a, b)$ avec $1 \leq a \leq N$ et $1 \leq b \leq N$, et comptez ceux qui n’ont aucun diviseur commun autre que $1$ (on dit qu’ils sont premiers entre eux). Quand $N$ grandit, la proportion de ces couples tend vers $\frac{6}{\pi^2}$. Pour $N = 1\,000$, on en compte $608\,383$ sur un million, soit environ $0{,}6083$. L’idée de la preuve : deux entiers sont tous deux multiples d’un nombre premier $p$ dans une proportion $\frac{1}{p^2}$ des cas, et le produit des $\left(1 - \frac{1}{p^2}\right)$ sur tous les nombres premiers vaut exactement $\frac{6}{\pi^2}$, grâce à une autre formule d’Euler qui relie la somme des $\frac{1}{n^2}$ aux nombres premiers.

Pourquoi c’est vrai

La somme a une limite. Pour $n \geq 2$, on a $n^2 > n(n-1)$, donc

En additionnant ces inégalités de $n = 2$ à $n = N$, les termes de droite se simplifient deux à deux et il reste $S_N < 1 + 1 - \frac{1}{N} < 2$. Les sommes $S_N$ augmentent et restent inférieures à $2$ : elles ont donc une limite.

Pourquoi cette limite vaut $\pi^2/6$ : l’idée d’Euler. La fonction $\frac{\sin x}{x}$ vaut $1$ en $0$ et s’annule exactement en $x = \pm\pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \ldots$ Euler l’écrit, comme un polynôme dont on connaît les racines, sous la forme d’un produit infini :

En développant, le coefficient de $x^2$ vaut $-\frac{1}{\pi^2}\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdots\right)$. Or le développement connu $\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \cdots$ donne $-\frac{1}{6}$ pour ce même coefficient. En égalant les deux, on obtient $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

Attention : tel quel, ce raisonnement n’est pas une démonstration. Rien ne permettait alors d’affirmer qu’une fonction se factorise comme un polynôme à partir de ses zéros. Le produit d’Euler est juste, mais sa justification complète est venue plus tard. Il existe aujourd’hui de nombreuses démonstrations rigoureuses, par exemple par des encadrements trigonométriques dus à Cauchy, ou par les séries de Fourier. Dans ce dernier cas, on écrit, pour $-\pi \leq x \leq \pi$, $x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cos(nx)}{n^2}$ ; en prenant $x = \pi$, où $\cos(n\pi) = (-1)^n$, il vient $\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$, d’où le résultat. Justifier ce développement demande la théorie des séries de Fourier, qui dépasse le cadre de cette page.

Un peu d’histoire

La question est posée au milieu du XVIIe siècle par l’Italien Pietro Mengoli (les sources donnent 1644 ou 1650). Plusieurs mathématiciens s’y attaquent sans succès, dont des membres de la famille Bernoulli, de Bâle. C’est cette ville, d’où venaient les Bernoulli et où était né Leonhard Euler, qui a donné son nom au problème.

Euler trouve la valeur $\frac{\pi^2}{6}$ vers 1734 ; son travail est lu à l’Académie des sciences de Saint-Pétersbourg le 5 décembre 1735. Ses arguments, fondés sur le produit infini ci-dessus, n’étaient pas justifiés selon les critères de l’époque. Euler en propose en 1741 une autre démonstration, mieux acceptée. La validité du produit infini du sinus sera établie au XIXe siècle, avec le théorème de factorisation de Karl Weierstrass.

Euler ne s’arrête pas là : sa méthode lui donne aussi les sommes des inverses des puissances paires, comme $\sum \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$. Pour les puissances impaires, aucune formule de ce type n’est connue.

Ce que montre l’affiche

Le dessin traduit la somme en surface : pour chaque $n$ de $1$ à $600$, le programme pose un carré de côté $\frac{1}{n}$, donc d’aire $\frac{1}{n^2}$. Les carrés sont empilés comme des briques dans une bande de largeur $1{,}5$ : chacun se place à l’endroit le plus bas encore libre. Les trente premiers sont colorés, les suivants sont plus pâles et de plus en plus petits. Leur aire totale vaut environ $1{,}6432$, un peu moins que $\frac{\pi^2}{6}$ : avec davantage de carrés, elle s’en approcherait autant qu’on veut sans jamais le dépasser. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La fonction zêta de Riemann, dont $\frac{\pi^2}{6}$ est la valeur en $2$.
• Les séries de Fourier, qui fournissent une démonstration rigoureuse du résultat.
• La formule de Leibniz, autre somme infinie qui fait apparaître $\pi$.
• Les nombres premiers, liés à $\zeta$ par un produit également découvert par Euler.