La spirale logarithmique

Ce que dit la formule

La spirale logarithmique s'écrit en coordonnées polaires : un point est repéré par sa distance $r$ à un point fixe $O$ (le pôle, centre de la spirale) et par l'angle $\theta$ de la direction $O \to$ point.

• $a$ : un nombre strictement positif, la distance au pôle quand $\theta = 0$. Il règle la taille.
• $b$ : un nombre réel non nul, qui règle l'ouverture de la spirale. Si $b > 0$, la spirale s'éloigne du pôle quand $\theta$ augmente ; si $b < 0$, elle s'en rapproche. Pour $b = 0$, on obtiendrait un simple cercle.
• $\theta$ : l'angle, en radians. Il peut prendre toutes les valeurs réelles, positives ou négatives : la spirale fait une infinité de tours.
• $e$ : le nombre d'Euler, environ $2{,}718$, base de l'exponentielle.

Trois propriétés découlent de la formule.

• Croissance géométrique. Quand $\theta$ augmente d'un tour ($2\pi$), $r$ est multiplié par le même facteur $e^{2\pi b}$. Les tours s'écartent donc de plus en plus. C'est la grande différence avec la spirale d'Archimède, $r = a\theta$, dont les tours sont également espacés. Le nom s'explique par l'équation inverse, $\theta = \tfrac{1}{b}\ln\tfrac{r}{a}$ : l'angle est proportionnel au logarithme de la distance.
• Angle constant. Pour $b > 0$, la tangente à la spirale fait avec la droite issue du pôle un angle $\psi$ qui ne dépend pas du point : $\tan\psi = \tfrac{1}{b}$.
• Auto-similarité. Agrandir la spirale à partir du pôle revient à la faire tourner : multiplier toutes les distances par $\lambda > 0$ donne la même courbe, tournée de $\tfrac{\ln\lambda}{b}$ radians (dans le sens des aiguilles d'une montre si $\lambda > 1$ et $b > 0$).

Un exemple

Prenons $a = 1$ cm et $b = 0{,}2$, la valeur utilisée sur l'affiche.

• À chaque tour, la distance au pôle est multipliée par $e^{2\pi \times 0{,}2} = e^{0{,}4\pi}$, environ $3{,}5135$. À chaque demi-tour, elle est multipliée par $e^{0{,}2\pi}$, environ $1{,}8744$ : deux demi-tours redonnent bien le facteur d'un tour, car $\left(e^{0{,}2\pi}\right)^2 = e^{0{,}4\pi}$.
• Après un tour : $r$ vaut environ $3{,}5135$ cm. Après deux tours : environ $12{,}345$ cm. Après trois tours : environ $43{,}376$ cm.
• L'angle entre la tangente et le rayon vaut $\arctan\tfrac{1}{0{,}2} = \arctan 5$, environ $78{,}690°$, en tout point.

Dans l'autre sens, quand $\theta$ devient très négatif, la spirale tourne une infinité de fois autour du pôle en s'en approchant. Pourtant, sa longueur reste finie : du pôle jusqu'au point $\theta = 0$, elle mesure $\tfrac{\sqrt{1 + b^2}}{b} \times a = \tfrac{\sqrt{1{,}04}}{0{,}2}$ cm, environ $5{,}099$ cm.

Pourquoi c'est vrai

L'angle constant. Un point de la courbe a pour position $r(\theta)\,(\cos\theta, \sin\theta)$. En dérivant par rapport à $\theta$, le vecteur tangent a deux composantes : $r'(\theta)$ le long du rayon, et $r(\theta)$ perpendiculairement au rayon. L'angle $\psi$ entre la tangente et le rayon vérifie donc

Pour $r = a e^{b\theta}$, la dérivée est $r' = b\, a e^{b\theta} = b\, r$. Le quotient vaut $\tfrac{1}{b}$, quel que soit le point. Réciproquement, si $\tfrac{r'}{r}$ est constant, $r$ est forcément de la forme $a e^{b\theta}$ : les spirales logarithmiques sont les seules courbes (avec les cercles et les droites issues du pôle) qui coupent tous les rayons sous un angle constant.

La longueur finie. Un petit arc mesure $\sqrt{r^2 + r'^2}\, d\theta = r\sqrt{1 + b^2}\, d\theta$. Pour $b > 0$, on intègre de $-\infty$ jusqu'à $\theta$ :

L'intégrale converge parce que $e^{bt}$ tend très vite vers $0$ quand $t$ tend vers $-\infty$.

L'auto-similarité. Si l'on multiplie $r = a e^{b\theta}$ par $\lambda > 0$, on obtient $\lambda a e^{b\theta} = a e^{b(\theta + \frac{\ln\lambda}{b})}$ : c'est la même équation avec l'angle décalé, donc la même courbe tournée.

Un peu d'histoire

La courbe a été étudiée par René Descartes, qui l'étudie en 1638, puis par Evangelista Torricelli, qui en a calculé la longueur avant l'invention du calcul infinitésimal. Le mathématicien suisse Jacques Bernoulli (1654-1705) l'a étudiée longuement et l'a appelée spira mirabilis, la « spirale merveilleuse », fasciné par le fait qu'elle se retrouve identique à elle-même après de nombreuses transformations.

Il avait demandé qu'elle soit gravée sur sa tombe, à Bâle, avec la devise latine Eadem mutata resurgo, « changée, je renais la même ». Le graveur a pourtant tracé une spirale d'Archimède, aux tours régulièrement espacés, et non une spirale logarithmique.

On compare souvent la spirale logarithmique à des formes naturelles : coquille du nautile, bras des galaxies spirales, têtes de tournesol. Il s'agit au mieux d'approximations. Les loges du nautile suivent une spirale à peu près logarithmique, et l'angle des bras d'une galaxie varie souvent avec la distance au centre, ce qu'une vraie spirale logarithmique ne fait pas.

Ce que montre l'affiche

Le dessin est calculé par un programme écrit pour l'atelier, à partir de la formule elle-même. Il trace douze spirales de même équation ($b = 0{,}2$), tournées les unes par rapport aux autres d'un douzième de tour, et autant de spirales symétriques qui tournent dans l'autre sens, en trait plus fin. Chacune part du bord d'un cercle de rayon 1 et s'enroule vers le centre jusqu'au rayon $0{,}004$, soit environ $4{,}39$ tours. Les deux familles se croisent partout sous le même angle et forment un réseau de cases qui rapetissent vers le centre. L'affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Le nombre e : la base de l'exponentielle qui apparaît dans l'équation.
• Le nombre d'or : la « spirale d'or » est la spirale logarithmique dont la distance au pôle est multipliée par $\varphi$ à chaque quart de tour, c'est-à-dire $b = \tfrac{\ln\varphi}{\pi/2}$, environ $0{,}3063$.
• La suite de Fibonacci : la spirale formée de quarts de cercle dans des carrés de Fibonacci n'est pas une spirale logarithmique, mais elle approche la spirale d'or.
• La formule d'Euler : dans le plan complexe, la spirale s'écrit simplement $z = a\, e^{(b + i)\theta}$.