La variance et l’écart type

Ce que dit la formule

Soit $X$ une variable aléatoire réelle telle que $E(X^2)$ soit finie ; c’est toujours le cas quand $X$ ne prend qu’un nombre fini de valeurs. Sa variance est

et son écart type est la racine carrée de la variance :

• $E(X)$ : l’espérance de $X$, sa valeur moyenne pondérée par les probabilités.
• $X - E(X)$ : l’écart entre la valeur prise par $X$ et sa moyenne ; il peut être positif ou négatif.
• $(X - E(X))^2$ : le carré de cet écart, toujours positif ou nul. La première ligne dit que la variance est la moyenne des carrés des écarts.
• $E(X^2)$ : l’espérance du carré de $X$. La seconde ligne, appelée en France formule (ou théorème) de König-Huygens, dit que la variance est « la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne ».
• $\sigma(X)$ : l’écart type, qui s’exprime dans la même unité que $X$ (des euros, des centimètres…), alors que la variance s’exprime dans le carré de cette unité.

Pour une variable qui prend les valeurs $x_i$ avec les probabilités $p_i$, cela s’écrit $V(X) = \sum_i (x_i - E(X))^2\, p_i$. On note aussi la variance $\mathrm{Var}(X)$ ou $\sigma^2$.

Règles de calcul.

• $V(X) \geq 0$, et $V(X) = 0$ seulement si $X$ est constante (avec probabilité 1).
• Pour tous nombres $a$ et $b$ : $V(aX + b) = a^2\, V(X)$ et $\sigma(aX + b) = |a|\, \sigma(X)$. Décaler toutes les valeurs ne change pas la dispersion.
• Si $X$ et $Y$ sont indépendantes : $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$. Sans indépendance, c’est faux en général : pour $Y = X$, on trouve $V(2X) = 4V(X)$ et non $2V(X)$.

Un exemple

Prenons un dé équilibré : $X$ vaut 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, chacun avec la probabilité $\frac{1}{6}$, et $E(X) = 3{,}5$.

Avec la première formule.

1. Les écarts à la moyenne sont $-2{,}5$ ; $-1{,}5$ ; $-0{,}5$ ; $0{,}5$ ; $1{,}5$ ; $2{,}5$.
2. Leurs carrés valent $6{,}25$ ; $2{,}25$ ; $0{,}25$ ; $0{,}25$ ; $2{,}25$ ; $6{,}25$, de somme $17{,}5$.
3. La moyenne de ces carrés est $V(X) = \frac{17{,}5}{6} = \frac{35}{12}$, soit environ 2,916 6.

Avec la seconde formule.

1. $E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}$.
2. $E(X)^2 = 3{,}5^2 = \frac{49}{4}$.
3. $V(X) = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$ : on retrouve le même résultat.

L’écart type vaut $\sigma(X) = \sqrt{35/12}$, environ 1,707 8. Pour la somme de deux dés lancés indépendamment, les variances s’ajoutent : $V = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$, environ 5,833, et l’écart type vaut environ 2,415.

Même moyenne, dispersions différentes. Un jeu où l’on gagne 10 € avec un 6, 2 € avec un 5 et où l’on perd 3 € sinon a une espérance nulle, comme le fait de ne pas jouer du tout. Mais sa variance vaut $\frac{100 + 4 + 4 \times 9}{6} = \frac{70}{3}$, environ 23,33, et son écart type environ 4,83 € : c’est l’écart type qui mesure le risque.

Pourquoi c’est vrai

L’égalité des deux formules. Notons $m = E(X)$, qui est un nombre fixe. On développe le carré, puis on utilise la linéarité de l’espérance :

C’est exactement $E(X^2) - E(X)^2$. Au passage, comme une variance est positive ou nulle, on obtient $E(X^2) \geq E(X)^2$.

Le changement d’échelle. L’espérance de $aX + b$ vaut $am + b$, donc $(aX + b) - (am + b) = a(X - m)$. Son carré est $a^2 (X - m)^2$, dont l’espérance est $a^2 V(X)$.

La somme de variables indépendantes. En développant de la même façon, $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\big(E(XY) - E(X)E(Y)\big)$. Pour des variables indépendantes, $E(XY) = E(X)\,E(Y)$ et le dernier terme disparaît.

Pourquoi l’écart type mesure bien la dispersion. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev affirme que, pour tout $k > 0$, $P\big(|X - E(X)| \geq k\,\sigma\big) \leq \frac{1}{k^2}$ : une variable s’éloigne rarement de sa moyenne de plus de quelques écarts types, quelle que soit sa loi.

Une remarque pratique : sur ordinateur, la seconde formule soustrait deux nombres parfois très proches, ce qui peut amplifier les erreurs d’arrondi ; les programmes de l’atelier l’ont constaté et en tiennent compte. Ils vérifient l’égalité des deux formules sur 10 000 lois tirées au hasard, puis exactement, en fractions, sur 300 lois à valeurs entières, ainsi que $V(aX + b) = a^2 V(X)$ et la valeur $\frac{35}{12}$ du dé.

Un peu d’histoire

L’idée de mesurer la dispersion par un écart quadratique est ancienne : Carl Friedrich Gauss parlait d’« erreur moyenne » à propos des erreurs de mesure. Le terme anglais standard deviation (en français, écart type) apparaît par écrit chez le statisticien britannique Karl Pearson en 1894, après qu’il l’eut employé dans ses cours. Le mot variance est introduit en 1918 par Ronald Fisher, dans un article sur l’hérédité intitulé The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.

Le nom de König-Huygens, surtout employé en France, rappelle une égalité de même forme en mécanique : le théorème de transport, dit de Huygens, relie le moment d’inertie d’un système par rapport à un point à son moment par rapport au centre de masse. La variance joue pour une loi de probabilité le rôle que joue le moment d’inertie pour une répartition de masses autour de son centre.

Ce que montre l’affiche

Le dessin superpose trois lois de probabilité sur les entiers de 0 à 12, toutes d’espérance 6 : une loi en cloche (la loi binomiale de paramètres 12 et 1/2), une loi uniforme et une loi en creux, dont les poids sont proportionnels à $(k - 6)^2 + 1$. Les barres donnent les probabilités exactes. Sous chaque loi, un trait va de $E(X) - \sigma$ à $E(X) + \sigma$, avec l’écart type calculé par le programme : environ 1,73, 3,74 et 4,92. Une ligne pointillée marque l’espérance commune. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• L’espérance mathématique, la moyenne autour de laquelle se mesure la dispersion.
• La loi binomiale, de variance $np(1-p)$.
• La loi normale, entièrement déterminée par son espérance et son écart type.

Sources : Variance (Wikipédia) (nouvel onglet), Écart type (Wikipédia) (nouvel onglet), Théorème de König-Huygens (Wikipédia) (nouvel onglet), Variance (MathWorld) (nouvel onglet), Variance (Wikipedia) (nouvel onglet), Standard deviation (Wikipedia) (nouvel onglet).