La conjecture de Goldbach

Ce que dit la conjecture

Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à 2 qui n’a que deux diviseurs, 1 et lui-même : 2, 3, 5, 7, 11, 13… La conjecture de Goldbach, sous sa forme moderne, affirme que pour tout entier $n \geq 2$, il existe deux nombres premiers $p$ et $q$ tels que

Autrement dit : tout nombre pair au moins égal à 4 serait la somme de deux nombres premiers. C’est une conjecture : elle n’a jamais été démontrée, ni réfutée. Elle a été vérifiée par ordinateur pour tous les nombres pairs jusqu’à $4 \times 10^{18}$, c’est-à-dire quatre milliards de milliards, ce qui ne prouve rien au-delà.

• $2n$ : le nombre pair que l’on veut décomposer, au moins égal à 4.
• $p$ et $q$ : deux nombres premiers, pas forcément différents ($6 = 3 + 3$). L’ordre ne compte pas : $3 + 7$ et $7 + 3$ sont une seule décomposition.
• Le nombre 1 n’est pas premier ; la décomposition $4 = 2 + 2$ est la seule qui utilise le nombre premier pair 2.

Les conditions comptent. Pour $n = 1$, le nombre 2 n’est pas la somme de deux nombres premiers, d’où la condition $n \geq 2$. Et l’énoncé ne vaut pas pour les nombres impairs : 11, 17, 23, 27, 29, 35 ou 37, par exemple, ne sont pas sommes de deux nombres premiers. La raison est simple : si un nombre impair est la somme de deux nombres premiers, l’un des deux est pair, donc égal à 2, et il faudrait que le nombre moins 2 soit premier ; or $11 - 2 = 9$ ne l’est pas.

Un exemple

Cherchons les décompositions de 28. On essaie chaque nombre premier $p$ jusqu’à la moitié, 14, et l’on regarde si $28 - p$ est premier :

• $28 - 2 = 26$ : non premier ;
• $28 - 3 = 25$ : non ;
• $28 - 5 = 23$ : premier, d’où $28 = 5 + 23$ ;
• $28 - 7 = 21$ : non ;
• $28 - 11 = 17$ : premier, d’où $28 = 11 + 17$ ;
• $28 - 13 = 15$ : non.

28 a donc exactement deux décompositions. Le nombre de décompositions augmente, en moyenne, avec la taille du nombre pair : 10 en a deux ($3 + 7$ et $5 + 5$), 100 en a six,

et 1 000 en a 28.

Les programmes de l’atelier ont vérifié la conjecture pour tous les nombres pairs de 4 à 10 000 000 (une vérification sur cet intervalle seulement). Dans tout cet intervalle, il suffit toujours d’essayer des nombres premiers $p$ assez petits : le cas le plus exigeant est $3\,807\,404 = 751 + 3\,806\,653$, où le plus petit $p$ qui convient est 751. Le nombre de décompositions de chaque nombre pair jusqu’à 196 a aussi été comparé à la table A045917 de l’encyclopédie en ligne des suites d’entiers (OEIS).

Pourquoi on y croit, sans preuve

La démonstration de la conjecture est inconnue. On peut expliquer pourquoi les mathématiciens la croient vraie, et ce qui est démontré autour d’elle.

Un argument de probabilité, qui n’est pas une preuve. Près d’un grand nombre $N$, environ un entier sur $\ln N$ est premier : c’est le théorème des nombres premiers. Un nombre impair a donc environ deux chances sur $\ln N$ d’être premier. Si l’on fait comme si les nombres premiers étaient répartis au hasard, chacune des quelque $N/4$ paires $(p, N - p)$ de nombres impairs avec $p \leq N/2$ aurait environ $4/(\ln N)^2$ chances d’être formée de deux nombres premiers. Le nombre de décompositions attendu, de l’ordre de $N/(\ln N)^2$, grandit sans limite : il paraît de plus en plus improbable qu’un nombre pair n’en ait aucune. Dans les années 1920, Hardy et Littlewood ont précisé ce raisonnement en une formule conjecturale, qui prévoit par exemple que les multiples de 3 ont environ deux fois plus de décompositions que les autres nombres pairs. Les calculs de l’atelier entre 1 000 et 10 000 donnent un rapport moyen de 1,98. Mais tout cela reste une estimation : les nombres premiers ne sont pas tirés au hasard, et l’argument n’exclut pas une exception.

Ce qui est démontré.

• En 1937, Ivan Vinogradov a démontré que tout nombre impair assez grand est la somme de trois nombres premiers.
• Chen Jingrun a annoncé en 1966, puis publié en détail en 1973, que tout nombre pair assez grand est la somme d’un nombre premier et d’un nombre qui est soit premier, soit produit de deux nombres premiers. C’est le résultat démontré le plus proche de la conjecture.
• En 2013, Harald Helfgott a présenté une démonstration de la conjecture dite faible : tout nombre impair supérieur à 5 est la somme de trois nombres premiers. Cette version faible découlerait de la conjecture de Goldbach, mais l’inverse est faux : la conjecture de Goldbach, dite forte, reste ouverte.

Un peu d’histoire

La conjecture est née d’une correspondance. Dans une lettre du 7 juin 1742, Christian Goldbach propose à Leonhard Euler un énoncé sur la décomposition des entiers en sommes de nombres premiers, en comptant 1 parmi les nombres premiers comme cela se faisait parfois à l’époque. Dans sa réponse du 30 juin 1742, Euler rappelle que Goldbach lui avait déjà indiqué que tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers ; il écrit tenir cet énoncé pour tout à fait certain, sans pouvoir le démontrer. C’est cette forme, réécrite avec la définition actuelle des nombres premiers, qui porte aujourd’hui le nom de Goldbach.

Les vérifications par ordinateur ont progressé avec la puissance de calcul. La borne actuelle, $4 \times 10^{18}$, a été atteinte en 2012 par une équipe menée par Tomás Oliveira e Silva, avec Siegfried Herzog et Silvio Pardi, et publiée en 2014 dans Mathematics of Computation.

Ce que montre l’affiche

Le dessin est la « comète de Goldbach » : pour chaque nombre pair de 4 à 10 000, un point dont la hauteur est le nombre de décompositions de ce nombre en somme de deux nombres premiers, calculé par un crible d’Ératosthène. Le nuage s’élargit vers la droite comme la queue d’une comète, et aucun point ne touche l’axe horizontal : jusqu’à 10 000, chaque nombre pair a au moins une décomposition. Les multiples de 3, dessinés dans une autre couleur, forment la bande du haut, comme le prévoit l’argument de Hardy et Littlewood. Sous la formule, l’affiche donne les six décompositions de 100. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Les nombres premiers et le théorème des nombres premiers, sur lequel repose l’argument de probabilité.
• La conjecture de Syracuse, autre énoncé simple sur les entiers, jamais démontré.
• La fonction zêta de Riemann, liée à une autre grande conjecture, l’hypothèse de Riemann.
• Le grand théorème de Fermat, longtemps conjecture, démontré en 1994-1995.

Sources : Conjecture de Goldbach (Wikipédia) (nouvel onglet), Goldbach’s conjecture (Wikipedia) (nouvel onglet), Goldbach Conjecture (MathWorld) (nouvel onglet), suite A045917 (OEIS) (nouvel onglet), vérification de T. Oliveira e Silva (nouvel onglet), Goldbach’s comet (Wikipedia) (nouvel onglet), Chen’s theorem (Wikipedia) (nouvel onglet).