L’énergie cinétique

Ce que dit la formule

Un corps de masse $m$ qui se déplace en translation à la vitesse $v$ possède l’énergie cinétique

• $E_c$ : l’énergie cinétique, en joules (J). Un joule vaut un kilogramme mètre carré par seconde carrée : $1\ \mathrm{J} = 1\ \mathrm{kg \cdot m^2 \cdot s^{-2}}$.
• $m$ : la masse du corps, en kilogrammes (kg).
• $v$ : la norme de sa vitesse, en mètres par seconde (m/s). Une vitesse en km/h se divise par 3,6 avant le calcul.

Les conditions. La formule vaut en mécanique classique, c’est-à-dire pour des vitesses petites devant celle de la lumière, et pour un corps en translation (tous ses points vont à la même vitesse). Un objet qui tourne sur lui-même possède en plus une énergie cinétique de rotation, qui se calcule avec son moment d’inertie.

La vitesse dépend du référentiel. Un passager assis dans un train a une énergie cinétique nulle par rapport au train, mais pas par rapport au quai. L’énergie cinétique n’a donc de sens qu’une fois le référentiel choisi.

Le carré change tout. Comme la vitesse est élevée au carré, l’énergie cinétique croît bien plus vite que la vitesse : à masse égale, doubler la vitesse multiplie l’énergie par $2^2 = 4$, la tripler la multiplie par 9. L’énergie cinétique n’est jamais négative et ne dépend pas du sens du mouvement.

Un exemple

Une voiture. Prenons une voiture de 1 000 kg roulant à 50 km/h. On convertit d’abord la vitesse : $v = 50 / 3{,}6 \approx 13{,}89$ m/s. Alors

soit environ 96,5 kJ. À 100 km/h, la même voiture possède environ 385 802 J : exactement quatre fois plus. C’est cette énergie que les freins doivent dissiper, ce qui explique pourquoi la distance de freinage augmente beaucoup plus vite que la vitesse.

La chute équivalente. Un corps qui tombe sans frottement d’une hauteur $h$ transforme son énergie de position $mgh$ en énergie cinétique : il arrive en bas avec $\frac{1}{2} m v^2 = mgh$, donc $h = v^2/(2g)$. La masse disparaît du calcul. Avec la pesanteur normale $g = 9{,}806\,65$ m/s², rouler à 50 km/h revient à tomber d’environ 9,84 m, soit à peu près trois étages ; à 130 km/h, d’environ 66,49 m.

Un coureur de 70 kg qui court à 10 m/s (36 km/h) possède $\frac{1}{2} \times 70 \times 10^2 = 3\,500$ J.

Pourquoi c’est vrai

L’énergie cinétique n’est pas une loi indépendante : elle se déduit de la deuxième loi de Newton et mesure le travail qu’il faut fournir pour mettre un corps en mouvement.

Le théorème de l’énergie cinétique. Prenons un mouvement en ligne droite, le long d’un axe, sous une force $F$ (qui peut varier). La deuxième loi de Newton donne $m\, \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = F$. Multiplions les deux membres par $v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ :

En intégrant entre deux instants, on obtient

La variation de l’énergie cinétique est égale au travail $W$ de la force. Pour un corps parti du repos, le travail fourni vaut donc exactement $\frac{1}{2} m v^2$ : le facteur $\frac{1}{2}$ vient de l’intégration de $v$. Le même raisonnement vaut en trois dimensions, avec un produit scalaire, pour un corps de masse constante dans un référentiel galiléen.

La limite relativiste. En relativité restreinte, l’énergie cinétique vaut $(\gamma - 1)\, m c^2$, où $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$. Pour $v$ petit devant $c$, on a $\gamma \approx 1 + \frac{v^2}{2c^2}$, et l’on retrouve $\frac{1}{2} m v^2$. À 30 km/s, la vitesse de la Terre autour du Soleil, l’écart entre les deux formules est d’environ $7{,}5 \times 10^{-9}$ en valeur relative. À la moitié de la vitesse de la lumière, la formule classique sous-estime l’énergie cinétique d’environ 19 % (la valeur exacte est environ 1,237 fois plus grande). Voir E = mc².

Un peu d’histoire

L’idée qu’un corps en mouvement porte une « force » proportionnelle à $mv^2$ remonte à Gottfried Wilhelm Leibniz, qui l’appelait vis viva (force vive), à la fin du XVIIe siècle ; elle a été reprise notamment par Jean Bernoulli. Elle s’opposait à l’idée, défendue par les cartésiens, que la bonne mesure était la quantité de mouvement $mv$. Le débat a duré des décennies : les deux grandeurs sont utiles, mais elles ne disent pas la même chose.

En 1722, Willem ’s Gravesande laisse tomber des masses dans de l’argile et constate que la profondeur de l’empreinte est proportionnelle au carré de la vitesse d’impact, et non à la vitesse elle-même. Émilie du Châtelet comprend la portée de cette expérience et en publie une explication en faveur de $mv^2$.

Le facteur $\frac{1}{2}$ et le lien avec le travail s’imposent au XIXe siècle : Gaspard-Gustave Coriolis publie en 1829 Du calcul de l’effet des machines, où il pose les bases mathématiques de cette notion. L’expression « énergie cinétique » (kinetic energy) est attribuée à William Thomson, futur Lord Kelvin, vers 1849-1851.

Ce que montre l’affiche

Le dessin traduit l’énergie cinétique en hauteur de chute. Pour six vitesses routières, de 30 à 130 km/h, chaque colonne a la hauteur $h = v^2/(2g)$ d’où il faudrait tomber, sans frottement de l’air, pour atteindre cette vitesse : environ 3,5 m à 30 km/h, 9,8 m à 50 km/h et 66,5 m à 130 km/h (valeurs arrondies au dixième). La courbe qui passe par le sommet des colonnes est une parabole : elle montre que l’énergie croît comme le carré de la vitesse. Le programme écrit pour l’atelier vérifie aussi, en simulant chaque chute pas à pas, qu’on retrouve bien la vitesse de départ. Sous la formule, la ligne de calcul donne l’énergie d’une voiture de 1 000 kg à 50 km/h. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La deuxième loi de Newton, dont l’énergie cinétique se déduit.
• E = mc², l’énergie d’un corps au repos et la version relativiste de l’énergie cinétique.
• La loi de Hooke, où l’énergie cinétique s’échange avec l’énergie d’un ressort.
• Les lois de Kepler : une planète va plus vite près du Soleil.

Sources : Énergie cinétique (Wikipédia) (nouvel onglet), Kinetic energy (Wikipedia) (nouvel onglet), Kinetic energy (Encyclopædia Britannica) (nouvel onglet), Feynman Lectures on Physics, vol. I, chap. 13 (nouvel onglet), Standard gravity (Wikipedia) (nouvel onglet).