Le produit vectoriel

Ce que dit la formule

On se place dans l’espace à trois dimensions, muni d’un repère orthonormé direct (trois axes perpendiculaires deux à deux, de même unité, orientés selon la règle de la main droite). Soient $\vec{u}\,(x, y, z)$ et $\vec{v}\,(x', y', z')$ deux vecteurs qui forment l’angle $\theta$. Alors :

• $\vec{u} \wedge \vec{v}$ se lit « $\vec{u}$ vectoriel $\vec{v}$ ». En France on note le produit avec le symbole $\wedge$ ; la plupart des ouvrages en anglais écrivent $\vec{u} \times \vec{v}$ (cross product). Le résultat est un vecteur, pas un nombre.
• $(x, y, z)$ et $(x', y', z')$ sont les coordonnées des deux vecteurs. La formule en coordonnées n’est valable que dans une base orthonormée directe ; dans une base orthonormée indirecte, elle donnerait le vecteur opposé.
• $\|\vec{u}\|$ est la norme (la longueur) de $\vec{u}$, et $\theta$ l’angle entre les deux vecteurs, compris entre $0$ et $\pi$ : son sinus est donc positif ou nul.

Le produit vectoriel est entièrement décrit par trois propriétés géométriques :

• Direction. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est perpendiculaire à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$, donc au plan qu’ils engendrent.
• Longueur. Sa norme $\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta$ est l’aire du parallélogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
• Sens. Le triplet $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \wedge \vec{v})$ est direct : avec la main droite, si le pouce suit $\vec{u}$ et l’index suit $\vec{v}$, le majeur replié indique le sens de $\vec{u} \wedge \vec{v}$. De façon équivalente, vu depuis la pointe de $\vec{u} \wedge \vec{v}$, on tourne de $\vec{u}$ vers $\vec{v}$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Conséquences utiles :

• $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$ si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires (en particulier si l’un d’eux est nul).
• Antisymétrie : $\vec{v} \wedge \vec{u} = -\,\vec{u} \wedge \vec{v}$. L’ordre compte.
• Le produit vectoriel n’est pas associatif : $(\vec{\imath} \wedge \vec{\imath}) \wedge \vec{\jmath} = \vec{0}$, alors que $\vec{\imath} \wedge (\vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}) = \vec{\imath} \wedge \vec{k} = -\vec{\jmath}$.
• Pour les vecteurs de la base : $\vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} = \vec{k}$, $\vec{\jmath} \wedge \vec{k} = \vec{\imath}$, $\vec{k} \wedge \vec{\imath} = \vec{\jmath}$.
• Le produit mixte $(\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{w}$ est le déterminant des trois vecteurs : sa valeur absolue est le volume du parallélépipède qu’ils forment.

En physique, le produit vectoriel apparaît dès qu’une grandeur dépend d’une rotation ou d’un sens de parcours : moment d’une force $\overrightarrow{OM} \wedge \vec{F}$, moment cinétique, force magnétique $q\,\vec{v} \wedge \vec{B}$ sur une charge en mouvement.

Un exemple

Prenons $\vec{u}\,(1, 2, 3)$ et $\vec{v}\,(4, 5, 6)$. Composante par composante :

Vérification de la perpendicularité. Avec $\vec{u}$ : $(-3) \times 1 + 6 \times 2 + (-3) \times 3 = -3 + 12 - 9 = 0$. Avec $\vec{v}$ : $(-3) \times 4 + 6 \times 5 + (-3) \times 6 = -12 + 30 - 18 = 0$.

La longueur. $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$, environ $7{,}348$. C’est l’aire du parallélogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ; le triangle de sommets $O$, $U$, $V$ en a la moitié, environ $3{,}674$.

On peut contrôler ce résultat autrement : $\|\vec{u}\|^2 = 14$, $\|\vec{v}\|^2 = 77$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 + 10 + 18 = 32$, d’où $14 \times 77 - 32^2 = 1\,078 - 1\,024 = 54$, comme annoncé par l’identité de Lagrange (voir plus bas). Les deux vecteurs sont presque alignés : l’angle vaut environ $12{,}93^\circ$, et son sinus environ $0{,}2238$.

Un exemple de physique. On serre un écrou avec une clé de $0{,}3$ m, posée selon l’axe des $x$, en tirant avec une force de $20$ N selon l’axe des $y$. Le moment de la force vaut $(0{,}3\,;0\,;0) \wedge (0\,;20\,;0) = (0\,;0\,;6)$ : $6$ N·m, dirigé selon l’axe des $z$, l’axe de rotation de l’écrou.

Pourquoi c’est vrai

On part de la formule en coordonnées et l’on vérifie les trois propriétés géométriques.

Perpendicularité. En développant, $x(yz' - zy') + y(zx' - xz') + z(xy' - yx')$ : les six termes s’annulent deux à deux, donc $(\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{u} = 0$. Le même calcul vaut pour $\vec{v}$.

Longueur. Un calcul direct, un peu long mais sans difficulté, donne l’identité de Lagrange :

Autrement dit, $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2$. Comme $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ (voir le produit scalaire), on obtient $\|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2(1 - \cos^2\theta) = \|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2\sin^2\theta$. Le sinus étant positif entre $0$ et $\pi$, on prend la racine carrée : $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta$. Enfin, l’aire d’un parallélogramme est le produit de sa base $\|\vec{u}\|$ par sa hauteur $\|\vec{v}\|\sin\theta$.

Sens. Le déterminant des trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{u} \wedge \vec{v}$ vaut $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|^2$, strictement positif quand les vecteurs ne sont pas colinéaires : le triplet est direct. Pour $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$, la formule donne bien $\vec{k}$.

L’atelier a contrôlé ces égalités sur 10 000 couples de vecteurs tirés au hasard, en mesurant l’angle séparément et en comparant la norme à l’aire calculée par la formule de Héron.

Un peu d’histoire

Le produit vectoriel est plus ancien que son nom. En 1773, Joseph-Louis Lagrange utilise déjà ses composantes, sans le nommer, dans un travail sur le tétraèdre.

En 1843, William Rowan Hamilton invente les quaternions ; le produit de deux quaternions « purs » contient, d’un seul coup, l’opposé du produit scalaire et le produit vectoriel. C’est aussi Hamilton qui introduit les mots vecteur et scalaire. En 1844, Hermann Grassmann publie de son côté une algèbre des grandeurs étendues, qui ne se limite pas à trois dimensions.

La présentation actuelle vient de la fin du XIXe siècle. William Kingdon Clifford emploie l’expression vector product en 1878 ; Josiah Willard Gibbs, dans des notes de cours de 1881, note le produit $u \times v$, et son élève Edwin Bidwell Wilson publie ces leçons en 1901 sous le titre Vector Analysis. Selon l’historien Florian Cajori, la notation $u \wedge v$, aujourd’hui courante en France, est introduite en 1908 par les Italiens Cesare Burali-Forti et Roberto Marcolongo.

Ce que montre l’affiche

Un vecteur $\vec{u}$ fixe et 24 vecteurs $\vec{v}$ de même longueur, tous les $15^\circ$, dans un plan horizontal vu en perspective. Au bout de chaque $\vec{v}$ se dresse le vecteur $\vec{u} \wedge \vec{v}$, calculé par la formule en coordonnées : il monte quand l’angle de $\vec{u}$ vers $\vec{v}$ est compris entre $0^\circ$ et $180^\circ$, descend au-delà, et s’annule quand les deux vecteurs sont alignés ; sa longueur suit le sinus de l’angle. Pour $\theta = 60^\circ$, le parallélogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est coloré, et son aire est exactement la longueur du vecteur en couleur. Le dessin est calculé par des programmes écrits pour l’atelier ; l’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Le produit scalaire, l’autre produit de deux vecteurs, qui donne un nombre.
• Le déterminant, qui mesure aires et volumes orientés.
• Les quaternions, d’où le produit vectoriel est sorti en 1843.
• Les équations de Maxwell, écrites avec le rotationnel $\nabla \times$, un produit vectoriel avec l’opérateur de dérivation.

Sources : Produit vectoriel (Wikipédia) (nouvel onglet), Cross product (Wikipedia) (nouvel onglet), Cross Product (Wolfram MathWorld) (nouvel onglet).