La cardioïde

Ce que dit la formule

La cardioïde s'écrit en coordonnées polaires : au lieu de repérer un point par ses coordonnées $x$ et $y$, on donne sa distance $r$ à un point fixe $O$ (le pôle) et l'angle $\theta$ que fait la direction $O \to$ point avec l'axe horizontal.

• $a$ : une longueur fixée, strictement positive, qui règle la taille de la courbe.
• $\theta$ : l'angle, qui parcourt un tour complet, de $0$ à $2\pi$ (en radians).
• $r$ : la distance au pôle $O$ du point de la courbe situé dans la direction $\theta$.
• $\cos\theta$ : il varie entre $-1$ et $1$, donc $r$ varie entre $0$ et $2a$.

Quelques conséquences se lisent directement sur la formule. Le point le plus éloigné du pôle est obtenu pour $\theta = 0$, à la distance $2a$. Le pôle lui-même est atteint pour $\theta = \pi$ seulement : c'est la pointe du « cœur », appelée point de rebroussement. Comme $\cos(-\theta) = \cos\theta$, la courbe est symétrique par rapport à l'axe horizontal.

La même courbe s'obtient de plusieurs façons :

• c'est une épicycloïde à un rebroussement : la trajectoire d'un point d'un cercle de rayon $\tfrac{a}{2}$ qui roule sans glisser à l'extérieur d'un cercle fixe de même rayon ;
• c'est l'enveloppe des cercles centrés sur un cercle fixe et passant tous par un même point de ce cercle (voir l'affiche) ;
• c'est un cas particulier des limaçons de Pascal, d'équation $r = b + a\cos\theta$, quand $b = a$.

Deux résultats se démontrent en quelques lignes : son aire vaut $\tfrac{3}{2}\pi a^2$ et sa longueur vaut $8a$.

Un exemple

Prenons $a = 2$ cm.

• Pour $\theta = 0$ : $r = 2 \times (1 + 1) = 4$ cm.
• Pour $\theta = \tfrac{\pi}{2}$ (angle droit) : $\cos\tfrac{\pi}{2} = 0$, donc $r = 2$ cm.
• Pour $\theta = \tfrac{2\pi}{3}$ (120°) : $\cos\tfrac{2\pi}{3} = -\tfrac{1}{2}$, donc $r = 2 \times \tfrac{1}{2} = 1$ cm.
• Pour $\theta = \pi$ : $r = 2 \times (1 - 1) = 0$, la courbe passe par le pôle.

L'aire enfermée vaut $\tfrac{3}{2}\pi \times 2^2 = 6\pi$, soit environ $18{,}849$ cm². La longueur de la courbe vaut $8 \times 2 = 16$ cm, un nombre entier, alors que le cercle de rayon 2 cm a un périmètre de $4\pi$, environ $12{,}566$ cm.

Pourquoi c'est vrai

L'aire. En coordonnées polaires, on découpe la surface en fines parts de tarte issues du pôle. Une part d'angle $d\theta$ est presque un triangle d'aire $\tfrac{1}{2} r^2\, d\theta$. L'aire totale est donc

On développe $(1 + \cos\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta$. Sur un tour complet, $\int_0^{2\pi} 1\, d\theta = 2\pi$, $\int_0^{2\pi} \cos\theta\, d\theta = 0$ et $\int_0^{2\pi} \cos^2\theta\, d\theta = \pi$. D'où $A = \tfrac{1}{2} a^2 (2\pi + 0 + \pi) = \tfrac{3}{2}\pi a^2$.

La longueur. Pour une courbe polaire, un petit arc mesure $\sqrt{r^2 + r'^2}\, d\theta$, où $r'$ est la dérivée de $r$ par rapport à $\theta$. Ici $r' = -a\sin\theta$, donc

en utilisant $1 + \cos\theta = 2\cos^2\tfrac{\theta}{2}$. Le petit arc vaut donc $2a\left|\cos\tfrac{\theta}{2}\right| d\theta$. En posant $\varphi = \tfrac{\theta}{2}$, la longueur totale est $4a\int_0^{\pi} |\cos\varphi|\, d\varphi = 4a \times 2 = 8a$.

L'épicycloïde. Faisons rouler un cercle de rayon $R$ à l'extérieur d'un cercle fixe de même rayon, centré à l'origine. Le centre du cercle mobile tourne à la distance $2R$ de l'origine ; comme il roule sans glisser sur un cercle de même taille, il tourne sur lui-même deux fois plus vite. Un point de son bord, parti de $(R, 0)$, décrit alors la courbe $x = 2R\cos t - R\cos 2t$, $y = 2R\sin t - R\sin 2t$. Plaçons la pointe au pôle en posant $X = R - x$ et $Y = y$. Avec $\cos 2t = 2\cos^2 t - 1$ et $\sin 2t = 2\sin t\cos t$, on trouve

C'est le point situé à la distance $2R(1 - \cos t)$ du pôle, dans la direction $\varphi = \pi - t$. Comme $1 - \cos t = 1 + \cos\varphi$, on retrouve exactement $r = a(1 + \cos\varphi)$ avec $a = 2R$, c'est-à-dire un cercle mobile de rayon $\tfrac{a}{2}$.

L'équation cartésienne. En multipliant $r = a + a\cos\theta$ par $r$, et en se souvenant que $r^2 = x^2 + y^2$ et $r\cos\theta = x$, on obtient $x^2 + y^2 - ax = ar$. En élevant au carré : $(x^2 + y^2 - ax)^2 = a^2(x^2 + y^2)$. Élever au carré n'ajoute ici aucun point parasite (les solutions supplémentaires redonnent la même courbe), et l'on obtient une équation de degré 4 : la cardioïde est une courbe algébrique.

Un peu d'histoire

La courbe a été étudiée avant d'avoir un nom. Parmi les premiers travaux, on cite ceux d'Ole Rømer (1674) et de Philippe de La Hire, qui en calcule la longueur en 1708. Le nom « cardioïde », du grec kardia, « cœur », apparaît en 1741 dans un article de Castillon publié dans les Philosophical Transactions de la Royal Society.

Plus de deux siècles plus tard, la cardioïde est réapparue là où on ne l'attendait pas : la région principale de l'ensemble de Mandelbrot est bordée par une cardioïde. Cette région rassemble les nombres complexes $c$ pour lesquels l'application $z \mapsto z^2 + c$ possède un point fixe attractif, c'est-à-dire un nombre $z$ tel que $z^2 + c = z$, autour duquel la dérivée $2z$ vérifie $|2z| < 1$. Sur le bord de la région, $|2z| = 1$, donc $z = \tfrac{1}{2}e^{it}$ pour un angle $t$, et $c = z - z^2 = \tfrac{1}{2}e^{it} - \tfrac{1}{4}e^{2it}$. Un calcul montre que $c - \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{2}(1 - \cos t)\, e^{it}$ : vue depuis le point $\tfrac{1}{4}$, c'est une cardioïde de paramètre $a = \tfrac{1}{2}$, dont la pointe est en $\tfrac{1}{4}$ et qui s'étend jusqu'à $-\tfrac{3}{4}$ sur l'axe réel.

Ce que montre l'affiche

Le dessin est calculé par un programme écrit pour l'atelier, à partir de la formule elle-même. Un cercle en pointillés, de diamètre $a$, passe par le pôle $O$. Sur ce cercle, le programme place 36 centres régulièrement espacés et trace autour de chacun le cercle qui passe par $O$. Chacun de ces 36 cercles touche la cardioïde sans la traverser (le programme le vérifie), si bien que la cardioïde, tracée en trait épais, apparaît comme leur enveloppe. L'affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• L'ensemble de Mandelbrot : la grande cardioïde en forme le cœur.
• Les rosaces de Grandi : d'autres fleurs en coordonnées polaires.
• La lemniscate de Bernoulli et la spirale logarithmique : deux autres courbes célèbres étudiées à la même époque.