Les équations de Navier-Stokes

Ce que dit la formule

Il existe plusieurs formes des équations de Navier-Stokes. Celle de l’affiche est la plus utilisée : elle vaut pour un fluide newtonien incompressible, de masse volumique et de viscosité constantes. C’est une très bonne description de l’eau, et de l’air tant que sa vitesse reste nettement inférieure à celle du son.

Les inconnues sont la vitesse $\mathbf{u}(x, y, z, t)$ du fluide en chaque point et à chaque instant (trois composantes) et la pression $p(x, y, z, t)$.

• $\rho$ : la masse volumique du fluide, en kg/m³ (environ 998 kg/m³ pour l’eau à 20 °C).
• $\mathbf{u}$ : le champ de vitesse, en m/s. Les caractères gras désignent des vecteurs.
• $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}$ : la variation de la vitesse au cours du temps, en un point fixe.
• $(\mathbf{u} \cdot \nabla)\, \mathbf{u}$ : le terme d’advection. Une parcelle de fluide qui se déplace passe dans des régions où la vitesse est différente ; ce terme en tient compte. Il est non linéaire (la vitesse y apparaît deux fois), et c’est lui qui rend les équations si difficiles.
• $-\nabla p$ : la force due aux différences de pression ($p$ en pascals) ; le fluide est poussé des hautes pressions vers les basses.
• $\mu\, \nabla^2 \mathbf{u}$ : le frottement interne, ou viscosité. $\mu$ est la viscosité dynamique, en Pa·s (environ $1{,}0 \times 10^{-3}$ Pa·s pour l’eau à 20 °C) ; $\nabla^2$ est le laplacien, qui mesure l’écart entre la vitesse en un point et la moyenne autour de lui.
• $\mathbf{f}$ : les forces extérieures par unité de volume, en N/m³, par exemple le poids $\rho\, \mathbf{g}$.
• $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$ : la condition d’incompressibilité. Le volume d’une parcelle de fluide ne change pas : il entre autant de fluide qu’il en sort de tout petit volume.

La première équation est la deuxième loi de Newton par unité de volume : masse volumique fois accélération égale somme des forces. Chaque terme s’exprime en N/m³. Pour résoudre un problème concret, il faut y ajouter des conditions aux limites (le plus souvent, le fluide colle aux parois : vitesse nulle sur une paroi fixe) et l’état du fluide à l’instant initial.

Un exemple

L’écoulement entre deux plaques (Poiseuille). De l’eau s’écoule entre deux plaques parallèles et fixes, distantes de $h = 2$ mm, poussée par une baisse de pression régulière de $G = 12$ Pa par mètre de longueur. On cherche un écoulement permanent, parallèle aux plaques : $\mathbf{u} = (u(y), 0, 0)$, où $y$ est la distance à la plaque du bas. Alors $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$ est automatiquement vérifiée, le terme d’advection et la dérivée en temps sont nuls, et il reste

En intégrant deux fois avec $u(0) = u(h) = 0$ (le fluide colle aux plaques), on obtient un profil parabolique :

Avec $\mu = 1{,}002 \times 10^{-3}$ Pa·s, la vitesse au milieu vaut $G h^2/(8\mu) \approx 5{,}98$ mm/s, la vitesse moyenne les deux tiers de celle-ci, environ 3,99 mm/s, et le débit vaut $G h^3/(12\mu) \approx 7{,}98 \times 10^{-6}$ m³/s par mètre de largeur, soit environ 7,98 mL par seconde. Le nombre de Reynolds, qui compare l’advection à la viscosité, vaut environ 7,95 : l’écoulement est laminaire, et la solution calculée est bien celle que l’on observe.

Le tourbillon de Taylor-Green. Dans un plan, le champ

avec $\nu = \mu/\rho$ et la pression $p = \frac{\rho U^2}{4} \left(\cos 2kx + \cos 2ky\right) e^{-4\nu k^2 t}$, est une solution exacte des équations. C’est une rangée de tourbillons qui tournent alternativement dans un sens et dans l’autre et s’éteignent sous l’effet de la viscosité, sans changer de forme. Pour des tourbillons d’eau de 1 cm de côté ($k = \pi / 0{,}01$ m⁻¹), les vitesses sont divisées par deux en environ 3,49 secondes.

Pourquoi c’est vrai

Les équations de Navier-Stokes ne se démontrent pas comme un théorème : ce sont un modèle physique, obtenu à partir de principes généraux et confirmé par d’innombrables expériences. Leur construction suit trois idées.

1. La conservation de la masse. Pour un fluide de masse volumique constante, elle se réduit à $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$.
2. La deuxième loi de Newton appliquée à une petite parcelle de fluide qui se déplace avec l’écoulement. Son accélération n’est pas seulement $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}$ : il faut ajouter le terme $(\mathbf{u} \cdot \nabla)\, \mathbf{u}$, parce que la parcelle change de place.
3. La loi de comportement d’un fluide newtonien : les forces de frottement internes sont proportionnelles aux vitesses de déformation, avec le coefficient $\mu$. Combinée à l’incompressibilité, elle donne le terme $\mu\, \nabla^2 \mathbf{u}$.

Sans viscosité ($\mu = 0$), on retrouve les équations d’Euler (1757). Beaucoup de fluides ne sont pas newtoniens (sang, peinture, ketchup) : il faut alors d’autres lois de comportement.

Le problème du millénaire. Que les équations soient un bon modèle ne dit pas tout de leurs propriétés mathématiques. En dimension 3, on ne sait pas démontrer que, partant d’un état initial régulier, il existe toujours une solution qui reste régulière pour tous les temps, ou au contraire qu’une solution peut « exploser » en un temps fini. En 2000, l’Institut de mathématiques Clay a fait de cette question de l’existence et de la régularité l’un de ses sept problèmes du prix du millénaire, doté d’un million de dollars. En dimension 2, la réponse est connue depuis longtemps : les solutions restent régulières. En dimension 3, Jean Leray a montré en 1934 l’existence de solutions dites faibles, mais on ne sait pas si elles sont uniques. À ce jour (octobre 2026), l’Institut Clay n’a reconnu aucune solution du problème ; une annonce de septembre 2026, qui revendique un contre-exemple en présence d’une force extérieure, est encore examinée et discutée par les spécialistes.

Un peu d’histoire

Leonhard Euler écrit en 1757 les équations du mouvement d’un fluide sans viscosité. En 1822, l’ingénieur français Henri Navier est le premier à y introduire un terme de frottement interne, à partir d’un modèle des forces entre molécules. Siméon Denis Poisson (1829) et Adhémar Barré de Saint-Venant (1843) obtiennent des résultats voisins par d’autres voies. En 1845, le physicien britannique d’origine irlandaise George Gabriel Stokes en donne une dérivation à partir des propriétés d’un milieu continu, sans hypothèse sur les molécules : c’est la forme retenue aujourd’hui.

Les équations sont aujourd’hui au cœur de la météorologie, de l’aéronautique, de l’hydraulique ou de la médecine (circulation sanguine). On les résout presque toujours par ordinateur : les solutions exactes, comme celles de Poiseuille ou de Taylor-Green (1937), sont rares et précieuses, notamment pour vérifier les programmes de calcul.

Ce que montre l’affiche

Le dessin montre les lignes de courant du tourbillon de Taylor-Green, une solution exacte des équations. Les courbes sont les lignes où la fonction de courant $\psi = \sin x \sin y$ est constante ; le fluide les suit sans jamais les traverser. Chaque case est un tourbillon : la couleur indique le sens de rotation, qui alterne d’une case à l’autre, et les petites flèches sont orientées par le champ de vitesse calculé. Les lignes pointillées séparent les tourbillons. Avec le temps, la viscosité ralentit tout le motif sans le déformer. Le programme de l’atelier vérifie par le calcul, en des milliers de points tirés au hasard, que ce champ satisfait bien les équations. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La deuxième loi de Newton, dont les équations de Navier-Stokes sont la version pour les fluides.
• L’équation de la chaleur : le terme de viscosité diffuse la vitesse comme la chaleur diffuse la température.
• La poussée d’Archimède, le cas d’un fluide au repos.
• L’attracteur de Lorenz, un modèle très simplifié de convection, tiré des mêmes équations.

Sources : Équations de Navier-Stokes (Wikipédia) (nouvel onglet), Navier–Stokes equations (Wikipedia) (nouvel onglet), Taylor–Green vortex (Wikipedia) (nouvel onglet), Clay Mathematics Institute, Navier-Stokes Equation (nouvel onglet), C. L. Fefferman, énoncé officiel du problème (PDF) (nouvel onglet).