Le nombre e

Ce que dit la formule

La formule donne deux définitions du même nombre et affirme qu’elles coïncident :

• $n$ est un entier naturel. Dans la limite, $n$ prend les valeurs $1, 2, 3, \ldots$ et devient aussi grand que l’on veut.
• $n!$ (« factorielle $n$ ») est le produit $1 \times 2 \times \cdots \times n$, avec la convention $0! = 1$. Ainsi $3! = 6$ et $4! = 24$.
• $\sum_{n=0}^{\infty}$ désigne une somme infinie : c’est la limite des sommes partielles $1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{N!}$ quand $N$ grandit.
• $\lim_{n\to\infty}$ désigne la valeur dont $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$ s’approche autant que l’on veut quand $n$ devient très grand.

Ce nombre vaut $e \approx 2{,}718\,281\,828\,459\,045\ldots$ Il n’est pas une fraction (il est irrationnel) et n’est solution d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers (il est transcendant). Les deux définitions se généralisent à tout nombre réel $x$ : $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}$, et la formule de l’affiche correspond au cas $x = 1$. C’est la base de la fonction exponentielle : $x \mapsto e^x$ est l’unique fonction dérivable égale à sa dérivée et valant $1$ en $0$. Le logarithme népérien $\ln$ est le logarithme de base $e$ : $\ln e = 1$.

Un exemple

Les intérêts composés. Placez 1 € à un taux de 100 % par an.

• Intérêts versés une fois par an : vous obtenez $1 + 1 = 2$ €.
• Deux fois par an, à 50 % chaque semestre : $1{,}5^2 = 2{,}25$ €.
• Chaque mois, à $\frac{1}{12}$ de 100 % : $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2{,}6130$ €.
• Chaque jour, sur 365 jours : $\left(1 + \frac{1}{365}\right)^{365} \approx 2{,}7145$ €.

Plus les versements sont fréquents, plus le capital final grandit, mais il ne dépasse jamais $e \approx 2{,}7182$ € : c’est la valeur limite, celle d’intérêts « composés en continu ».

La somme des inverses des factorielles. Additionnons les premiers termes : $1 + 1 = 2$ ; $+\frac{1}{2} = 2{,}5$ ; $+\frac{1}{6} \approx 2{,}6666$ ; $+\frac{1}{24} \approx 2{,}7083$ ; $+\frac{1}{120} \approx 2{,}7166$ ; $+\frac{1}{720} \approx 2{,}7180$. Avec les onze termes de $\frac{1}{0!}$ à $\frac{1}{10!}$, on obtient environ $2{,}718\,281\,801$, soit sept décimales justes. À l’inverse, $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ converge lentement : même pour $n = 1\,000$, on n’obtient qu’environ $2{,}7169$.

Un exemple de probabilités. Le nombre $e$ apparaît aussi, à travers $\frac{1}{e} \approx 0{,}3678$, dans des questions de hasard. Si vous avez une chance sur $100$ de gagner à chaque partie et que vous jouez $100$ parties indépendantes, la probabilité de ne jamais gagner vaut $0{,}99^{100} \approx 0{,}3660$, déjà proche de $\frac{1}{e}$ : en effet, $\left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$ tend vers $\frac{1}{e}$ quand $n$ grandit. Autre exemple : dix personnes déposent chacune un papier à leur nom dans un chapeau, puis en tirent un au hasard. La probabilité que personne ne tire son propre nom vaut $\frac{1\,334\,961}{3\,628\,800} \approx 0{,}367\,879\,4$, qui coïncide avec $\frac{1}{e}$ sur ses sept premières décimales.

Pourquoi c’est vrai

Notons $S_N = \sum_{k=0}^{N} \frac{1}{k!}$ et $u_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$.

1. La somme infinie existe. Pour $k \geq 1$, on a $k! \geq 2^{k-1}$, donc $\frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k-1}}$. Les sommes $S_N$ augmentent et restent inférieures à $1 + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots\right) = 3$. Elles ont donc une limite $S$.

2. On développe $u_n$. Par la formule du binôme,

Chaque parenthèse est comprise entre $0$ et $1$, donc chaque terme est au plus $\frac{1}{k!}$ : on obtient $u_n \leq S_n \leq S$.

3. On minore $u_n$. Fixons un entier $m$. Pour $n \geq m$, en ne gardant que les termes jusqu’à $k = m$, $u_n$ est au moins égal à $\sum_{k=0}^{m} \frac{1}{k!}\left(1 - \frac{1}{n}\right)\cdots\left(1 - \frac{k-1}{n}\right)$. Quand $n$ grandit, cette somme finie tend vers $S_m$. Comme $S_m$ est aussi proche de $S$ qu’on le veut pour $m$ assez grand, $u_n$ finit par être aussi proche de $S$ qu’on le veut, tout en restant au plus égal à $S$. Donc $u_n$ tend vers $S$ : les deux définitions donnent le même nombre.

4. Pourquoi la somme converge si vite. Ce qui manque à $S_N$ pour atteindre $e$ est $\frac{1}{(N+1)!} + \frac{1}{(N+2)!} + \cdots$, qui est inférieur à $\frac{1}{(N+1)!}\left(1 + \frac{1}{N+1} + \frac{1}{(N+1)^2} + \cdots\right) = \frac{1}{N!\,N}$. Pour $N = 10$, cette borne vaut environ $2{,}75 \times 10^{-8}$, et l’écart réel est d’environ $2{,}73 \times 10^{-8}$.

La même somme montre aussi que $e$ est irrationnel : voir la FAQ ci-dessous.

Un peu d’histoire

Des calculs qui font intervenir ce nombre, sans le nommer, figurent dès 1618 dans une table annexée à un ouvrage de John Napier (Neper) sur les logarithmes. En référence à ces logarithmes, on l’appelle aussi, en français, nombre de Néper ou constante de Néper, bien que Napier ne l’ait pas nommé. En 1683, Jacques Bernoulli rencontre la limite de $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ en étudiant les intérêts composés.

La lettre $e$ vient de Leonhard Euler. Il l’emploie dès 1727 ou 1728 dans un manuscrit resté inédit, puis dans une lettre à Christian Goldbach en 1731 ; sa première apparition imprimée se trouve dans sa Mechanica (1736). On ne sait pas avec certitude pourquoi il a choisi cette lettre. Euler établit aussi l’égalité avec la somme des $\frac{1}{n!}$ et montre en 1737, à l’aide des fractions continues, que $e$ est irrationnel.

En 1873, Charles Hermite démontre que $e$ est transcendant. C’est le premier nombre dont on ait prouvé la transcendance sans l’avoir construit exprès pour cela. En 1882, Ferdinand von Lindemann s’inspire de sa méthode pour prouver que $\pi$ est transcendant à son tour.

Ce que montre l’affiche

Le dessin met côte à côte les deux chemins de la formule, calculés terme à terme par le programme pour $n = 1$ à $30$. Les points du haut sont les sommes $1 + 1$, $1 + 1 + \frac{1}{2}$, $1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$… : partis de $2$, ils rejoignent la ligne horizontale marquée $e$ en quelques pas. Les points du bas, portés par des barres verticales, sont les valeurs de $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ : ils montent lentement, de $2$ à environ $2{,}674$ pour $n = 30$, sans jamais atteindre la ligne. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• L’identité d’Euler et la formule d’Euler, où $e$ rencontre $\pi$ et $i$.
• La spirale logarithmique, courbe de l’exponentielle.
• La formule de Stirling, qui relie $n!$ à $e$.
• La loi normale et l’intégrale de Gauss, construites sur $e^{-x^2}$.