La transformée de Fourier

Ce que dit la formule

Pour une fonction $f$ intégrable sur $\mathbb{R}$, c’est-à-dire telle que $\int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|\,\mathrm{d}x$ soit finie, on définit pour tout réel $\xi$ :

• $f$ est le signal de départ ; $x$ est souvent un temps (ou une position).
• $\xi$ (la lettre grecque « ksi ») est une fréquence : le nombre d’oscillations par unité de $x$.
• $\hat{f}(\xi)$ (« $f$ chapeau ») est la transformée de Fourier de $f$. C’est en général un nombre complexe : son module dit combien de la fréquence $\xi$ contient le signal, son argument dit avec quel décalage.
• $i$ est l’unité imaginaire ($i^2 = -1$), et $e^{-2i\pi x\xi} = \cos(2\pi x\xi) - i\sin(2\pi x\xi)$ d’après la formule d’Euler : c’est une oscillation pure de fréquence $\xi$.

Un cas simple. Si $f$ est réelle et paire, comme le signal de l’affiche, la partie en sinus s’annule par symétrie et $\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cos(2\pi x\xi)\,\mathrm{d}x$ : la transformée est alors réelle et paire, avec les mêmes valeurs en $\xi$ et en $-\xi$. C’est pourquoi chaque fréquence apparaît deux fois, une fois de chaque côté de zéro.

La formule d’inversion. Si de plus $\hat{f}$ est intégrable et $f$ continue, on retrouve $f$ à partir de son spectre :

Avec cette convention, l’aller et le retour ont la même forme, au signe près dans l’exponentielle.

Les autres conventions. Cette page utilise la convention avec $2\pi$ dans l’exponentielle. Beaucoup d’ouvrages, notamment en physique, utilisent plutôt la pulsation $\omega = 2\pi\xi$ :

D’autres répartissent le facteur en mettant $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ devant chacune des deux intégrales, et certains changent le signe de l’exponentielle. Toutes décrivent la même chose, mais les formules (inversion, exemples) diffèrent par des facteurs : il faut toujours vérifier la convention d’un ouvrage avant d’en reprendre un résultat. Ici, $F(\omega) = \hat{f}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$.

Un exemple

Prenons la fonction porte $f$, qui vaut 1 pour $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$ et 0 ailleurs.

1. L’intégrale se limite à l’intervalle où $f = 1$ : $\hat{f}(\xi) = \int_{-1/2}^{1/2} e^{-2i\pi x\xi}\,\mathrm{d}x$.
2. Pour $\xi = 0$, l’exponentielle vaut 1 et $\hat{f}(0) = 1$, l’aire sous la porte.
3. Pour $\xi \neq 0$, une primitive de $e^{-2i\pi x\xi}$ est $\frac{e^{-2i\pi x\xi}}{-2i\pi\xi}$, d’où

Quelques valeurs : $\hat{f}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{\pi}$, environ 0,6366 ; $\hat{f}(1) = 0$ ; $\hat{f}\left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{2}{3\pi}$, environ $-0{,}2122$. Une intégrale calculée numériquement donne les mêmes nombres. Le spectre d’un créneau bref s’étale donc sur de nombreuses fréquences, en s’atténuant lentement.

Plus court, plus large. Si l’on comprime le signal, $g(x) = f(ax)$ avec $a > 0$, le changement de variable $u = ax$ donne $\hat{g}(\xi) = \frac{1}{a}\hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)$ : le spectre s’élargit d’autant. Une porte deux fois plus étroite a un spectre deux fois plus étalé. Ce lien entre durée et étendue des fréquences est la forme mathématique du principe d’incertitude, en traitement du signal comme en mécanique quantique.

L’énergie se conserve. Avec la convention en $2\pi$, le théorème de Plancherel affirme que $\int |f(x)|^2\,\mathrm{d}x = \int |\hat{f}(\xi)|^2\,\mathrm{d}\xi$ pour toute fonction à la fois intégrable et de carré intégrable (puis, par prolongement de la définition, pour toute fonction de carré intégrable). Pour la porte, le membre de gauche vaut 1. Le calcul numérique de $\int \left(\frac{\sin \pi\xi}{\pi\xi}\right)^2\mathrm{d}\xi$ entre $-2\,000$ et $2\,000$ donne environ 0,99994 : la petite différence correspond aux fréquences laissées de côté, qui pèsent environ 0,00005.

Pourquoi c’est vrai

La formule est une définition ; ce qui se démontre, ce sont ses propriétés. En voici deux, avec leur preuve.

Elle repère les fréquences. Si $g(x) = f(x)\cos(2\pi a x)$, alors, puisque $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$,

Multiplier un signal par une oscillation de fréquence $a$ recopie son spectre autour de $a$ et de $-a$.

La gaussienne est sa propre transformée. Soit $\varphi(x) = e^{-\pi x^2}$ et $F = \hat{\varphi}$. On a $\varphi'(x) = -2\pi x\,\varphi(x)$. En dérivant sous le signe intégrale (ce que la décroissance très rapide de $\varphi$ autorise), puis en intégrant par parties :

De plus, $F(0) = \int e^{-\pi x^2}\mathrm{d}x = 1$ d’après l’intégrale de Gauss (avec le changement de variable $u = \sqrt{\pi}\,x$). La seule solution de cette équation qui vaut 1 en 0 est $F(\xi) = e^{-\pi\xi^2}$ : la transformée de $e^{-\pi x^2}$ est $e^{-\pi \xi^2}$. Ce résultat est propre à la convention en $2\pi$ ; avec une autre, des facteurs apparaissent.

La démonstration de la formule d’inversion dépasse le cadre de cette page ; une preuve classique passe justement par des gaussiennes de plus en plus étroites.

Un peu d’histoire

La transformée de Fourier prolonge les séries de Fourier aux fonctions qui ne sont pas périodiques. Elle apparaît dans la Théorie analytique de la chaleur de Joseph Fourier, publiée en 1822. La théorie rigoureuse, avec les conditions précises d’existence et d’inversion, s’est construite au XIXe et au XXe siècle.

Elle est aujourd’hui partout : analyse du son, compression d’images, imagerie médicale par résonance magnétique, optique, mécanique quantique. En pratique, les ordinateurs en calculent une version discrète avec un algorithme rapide, la FFT, popularisé par James Cooley et John Tukey en 1965.

Ce que montre l’affiche

En haut, un signal : une cloche $e^{-\pi x^2}$ multipliée par la somme de deux oscillations, de fréquences 3 et 7, la seconde d’amplitude 0,6. En bas, sa transformée, calculée par le programme de l’atelier en évaluant l’intégrale de la formule sur 8 000 points, pour $\xi$ allant de $-9$ à $9$. Le spectre fait ressortir deux paires de pics, de hauteur 0,5 en $\pm 3$ et 0,3 en $\pm 7$, comme le prévoit la propriété de décalage ci-dessus : la transformée exacte est $\frac{1}{2}\big(\varphi(\xi - 3) + \varphi(\xi + 3)\big) + 0{,}3\big(\varphi(\xi - 7) + \varphi(\xi + 7)\big)$, avec $\varphi(u) = e^{-\pi u^2}$, et le calcul numérique la retrouve. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La série de Fourier, la version périodique.
• L’intégrale de Gauss et la loi normale, pour la gaussienne.
• L’équation de la chaleur et l’équation de Schrödinger, où la transformée sert à résoudre.
• Le tableau des conventions sur Wikipédia (en anglais) (nouvel onglet).