Formulaire de trigonométrie : toutes les formules trigonométriques, vérifiées

Comment sont définis le sinus, le cosinus et la tangente ?

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\alpha$ : $\sin\alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$, $\cos\alpha = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ et $\tan\alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ (voir sinus, cosinus et tangente, avec calculatrice).

Pour un angle quelconque, on utilise le cercle trigonométrique, de rayon 1 et centré à l’origine : le point du cercle situé à l’angle $x$ a pour coordonnées $(\cos x\,;\,\sin x)$. La tangente vaut $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, définie seulement quand $\cos x \neq 0$, c’est-à-dire pour $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k$ entier).

Les formules de ce formulaire supposent les angles en radians. La conversion est proportionnelle : $180° = \pi$ rad, donc un angle de $\alpha$ degrés vaut $\alpha \times \frac{\pi}{180}$ radians, et 1 rad vaut environ 57,295 8°. La page du cercle trigonométrique propose un convertisseur degrés-radians.

Quelles sont les valeurs remarquables du sinus, du cosinus et de la tangente ?

Moyen mnémotechnique : de 0° à 90°, le sinus vaut successivement $\frac{\sqrt{0}}{2}$, $\frac{\sqrt{1}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{\sqrt{4}}{2}$, et le cosinus parcourt la même liste à l’envers. On écrit aussi $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Quelles sont les relations fondamentales ?

Pour tout réel $x$ :

C’est le théorème de Pythagore dans le cercle de rayon 1. Quand $\cos x \neq 0$, en divisant par $\cos^2 x$ :

Le cosinus et le sinus sont périodiques de période $2\pi$ : $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin x$. La tangente est périodique de période $\pi$ : $\tan(x + \pi) = \tan x$.

Quelles sont les formules des angles associés ?

Elles se lisent sur le cercle trigonométrique, par symétrie.

La colonne de la tangente suppose que les tangentes écrites existent ($\cos x \neq 0$, et $\sin x \neq 0$ pour les deux dernières lignes).

Quelles sont les formules d’addition ?

Pour tous réels $a$ et $b$ :

Pour la tangente, quand $\tan a$, $\tan b$ et $\tan(a \pm b)$ existent :

Retenir la première suffit : les autres s’en déduisent en remplaçant $b$ par $-b$ et $a$ par $\frac{\pi}{2} - a$. Avec la formule d’Euler, elles se retrouvent en développant $e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib}$.

Quelles sont les formules de duplication ?

En prenant $b = a$ dans les formules d’addition :

Les formules de triplication découlent de la formule de Moivre, $(\cos x + i\sin x)^n = \cos nx + i\sin nx$, valable pour tout entier $n$.

Quelles sont les formules de linéarisation ?

Linéariser, c’est remplacer un produit ou une puissance de cosinus et de sinus par une somme de cosinus et de sinus simples, plus faciles à intégrer.

Comment transformer une somme en produit ?

Ce sont les formules précédentes lues dans l’autre sens, avec $p = a + b$ et $q = a - b$. Pour tous réels $p$ et $q$ :

Elles servent à factoriser pour résoudre une équation, ou à expliquer les battements de deux sons de fréquences voisines.

Que valent sinus et cosinus en fonction de la tangente de l’angle moitié ?

Avec $t = \tan\frac{a}{2}$, défini pour $a \neq \pi + 2k\pi$ :

la dernière quand $\tan a$ existe. Ces formules ramènent un calcul trigonométrique à un calcul sur des fractions.

Quelles sont les formules d’Euler ?

Pour tout réel $x$, $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ (formule d’Euler), d’où

Développer une puissance de ces expressions est la méthode générale de linéarisation ; c’est aussi le point de départ des séries de Fourier.

Quelles sont les dérivées des fonctions trigonométriques ?

$\sin' = \cos$ et $\cos' = -\sin$ sur $\mathbb{R}$ ; $\tan' = 1 + \tan^2 = \frac{1}{\cos^2}$ là où la tangente est définie. Les autres dérivées et les primitives sont dans le tableau des dérivées et primitives.

Comment résoudre cos x = cos a, sin x = sin a et tan x = tan a ?

Pour un réel $a$ donné, $k$ désignant un entier relatif quelconque :

Quelles formules s’appliquent dans un triangle quelconque ?

Dans un triangle de côtés $a$, $b$, $c$ et d’angles opposés $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, de cercle circonscrit de rayon $R$ :

• Somme des angles : $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, soit 180°.
• Théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus) : $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$, et de même pour les autres côtés. Il donne un angle à partir des trois côtés : $\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
• Loi des sinus : $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$.
• Aire : $\mathcal{A} = \frac{1}{2}ab\sin\gamma = \frac{abc}{4R}$.

Le nom de théorème d’Al-Kashi est surtout employé en France ; la plupart des autres langues parlent de « loi des cosinus ». Quand $\gamma$ est droit, $\cos\gamma = 0$ et l’on retrouve Pythagore.

Exemples calculés

Une valeur exacte par addition. $\cos 75° = \cos(45° + 30°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}258\,8$. C’est aussi la valeur de $\sin 15°$, puisque $15° = 90° - 75°$.

Une valeur exacte par linéarisation. $\cos^2\frac{\pi}{8} = \frac{1 + \cos\frac{\pi}{4}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$, et comme $\cos\frac{\pi}{8} > 0$, $\cos\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \approx 0{,}923\,9$.

Al-Kashi. Deux côtés de 7 cm et 8 cm forment un angle de 60° : le troisième côté vérifie $c^2 = 49 + 64 - 2 \times 7 \times 8 \times \frac{1}{2} = 57$, donc $c = \sqrt{57} \approx 7{,}55$ cm.

Loi des sinus. Dans un triangle où $a = 10$ cm, $\alpha = 40°$ et $\beta = 65°$, on a $\gamma = 75°$, puis $b = \frac{10\sin 65°}{\sin 40°} \approx 14{,}10$ cm et $c = \frac{10\sin 75°}{\sin 40°} \approx 15{,}03$ cm ; le rayon du cercle circonscrit vaut $R = \frac{10}{2\sin 40°} \approx 7{,}78$ cm.

Comment ces formules ont-elles été vérifiées ?

Chaque identité de cette page a été testée par un programme sur 10 000 angles, ou couples d’angles, tirés au hasard entre $-20$ et $20$ radians, en évitant les valeurs interdites de la tangente. Les formules du triangle ont été contrôlées sur 10 000 triangles construits à partir des coordonnées de leurs sommets, et les solutions des équations comparées à une recherche numérique de toutes les solutions sur un grand intervalle. Aucun écart n’a dépassé l’erreur d’arrondi du calcul.

Pour aller plus loin

• Les longueurs, aires et volumes sont réunis dans le formulaire des aires, périmètres et volumes.
• L’identité d’Euler, $e^{i\pi} + 1 = 0$, est le cas $x = \pi$ de la formule d’Euler.
• Le cercle trigonométrique et le triangle d’Al-Kashi existent en affiche, en style Nuit, Bauhaus, Papier ou Tableau noir, parmi nos affiches mathématiques.

Références : l’article Identité trigonométrique (nouvel onglet) de Wikipédia, la section 4.21 du DLMF (nouvel onglet) du NIST (identités des fonctions trigonométriques) et l’article Loi des sinus (nouvel onglet).