Tableau des dérivées et des primitives usuelles, avec leurs intervalles de validité

Qu’est-ce qu’une dérivée et qu’est-ce qu’une primitive ?

La dérivée de $f$ en $a$ est la limite du taux d’accroissement $\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers 0, quand cette limite existe : c’est la pente de la tangente à la courbe (voir la dérivée).

Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F' = f$. Toute fonction continue sur un intervalle en possède, et le théorème fondamental de l’analyse relie primitive et intégrale :

Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle, les primitives de $f$ sur cet intervalle sont exactement les fonctions $F + C$, où $C$ est une constante réelle. Dans les tableaux ci-dessous, on donne une primitive ; il faut toujours ajouter « $+\,C$ ».

Quelles sont les dérivées des fonctions usuelles ?

Les cinq dernières lignes (fonctions circulaires réciproques et hyperboliques, $\operatorname{sh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ et $\operatorname{ch} x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$) relèvent du programme après le baccalauréat.

La racine carrée n’est pas dérivable en 0, bien qu’elle y soit définie : le taux d’accroissement $\frac{\sqrt{h} - 0}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}$ tend vers $+\infty$ ; la courbe y a une tangente verticale. De même, $\arcsin$ et $\arccos$ ne sont pas dérivables en $-1$ et en $1$.

Pour l’exponentielle et le logarithme, voir la fonction exponentielle et le logarithme népérien.

Comment dériver une somme, un produit, un quotient, une composée ?

$u$ et $v$ désignent deux fonctions dérivables sur un même intervalle, $k$ une constante.

La règle de la composée donne les formes les plus utilisées :

Exemples de dérivées calculées

• $f(x) = (3x^2 + 1)e^{2x}$ : produit de $u = 3x^2 + 1$ et $v = e^{2x}$, avec $u' = 6x$ et $v' = 2e^{2x}$. Donc $f'(x) = 6xe^{2x} + 2(3x^2 + 1)e^{2x} = (6x^2 + 6x + 2)e^{2x}$.
• $g(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ : quotient, $g'(x) = \frac{1 \times (x^2 + 1) - x \times 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$.
• $h(x) = \sin(x^2)$ : composée, $h'(x) = 2x\cos(x^2)$.
• $k(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ : $k'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$, sur $\mathbb{R}$ puisque $x^2 + 1 > 0$.

Quelles sont les primitives des fonctions usuelles ?

Chaque ligne donne une primitive $F$ de $f$ sur l’intervalle indiqué ; les autres sont les $F + C$.

Les deux lignes de $\frac{1}{x}$ se résument en une primitive $\ln\lvert x\rvert$, valable sur chacun des deux intervalles séparément.

Quelles sont les primitives des formes composées ?

$u$ est une fonction dérivable dont la dérivée $u'$ est continue sur l’intervalle considéré.

Pourquoi l’intervalle et la constante comptent-ils ?

La constante. Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante, car leur différence a une dérivée nulle. Pour fixer la constante, il faut une condition : la primitive de $\cos x$ qui vaut 3 en 0 est $\sin x + 3$.

L’intervalle. Sur une réunion d’intervalles, comme $\mathbb{R}^* = ]-\infty\,;0[ \cup ]0\,;+\infty[$, la constante peut être différente de chaque côté : la fonction égale à $\ln\lvert x\rvert + 1$ pour $x < 0$ et à $\ln\lvert x\rvert - 5$ pour $x > 0$ a, elle aussi, pour dérivée $\frac{1}{x}$.

Le piège classique. On ne peut pas écrire $\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{x^2} = \left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -2$ : une intégrale d’une fonction positive ne peut pas être négative. La fonction n’est pas définie en 0, qui est dans l’intervalle, et $-\frac{1}{x}$ n’est une primitive que sur $]-\infty\,;0[$ ou sur $]0\,;+\infty[$. En fait, $\int_{\varepsilon}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{x^2} = \frac{1}{\varepsilon} - 1$ tend vers $+\infty$ : cette intégrale n’existe pas.

Comment intégrer par parties ?

Si $u$ et $v$ sont dérivables à dérivées continues sur $[a\,;b]$ :

Par exemple, avec $u(x) = x$ et $v(x) = e^x$ : $\int_0^1 xe^x\,\mathrm{d}x = \big[xe^x\big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x = e - (e - 1) = 1$.

Exemples d’intégrales calculées avec une primitive

• $\int_0^1 xe^{x^2}\,\mathrm{d}x$ : avec $u = x^2$, on reconnaît $\frac{1}{2}u'e^u$, de primitive $\frac{1}{2}e^{x^2}$. L’intégrale vaut $\frac{e - 1}{2} \approx 0{,}859\,1$.
• $\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x$ : avec $u = \ln x$, c’est $u'u$, de primitive $\frac{(\ln x)^2}{2}$. L’intégrale vaut $\frac{1}{2}$.
• $\int_0^{\pi/2} \cos^2 x\,\mathrm{d}x$ : on linéarise, $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$, de primitive $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}$. L’intégrale vaut $\frac{\pi}{4} \approx 0{,}785\,4$.
• $\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x^2} = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^2 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$, cette fois légitime car $[1\,;2]$ est inclus dans $]0\,;+\infty[$.

Comment ces tableaux ont-ils été vérifiés ?

Chaque dérivée a été comparée par un programme au taux d’accroissement $\frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$, avec $h$ très petit, en 2 000 points tirés au hasard dans le domaine annoncé ; les règles de calcul ont été testées sur des fonctions $u$ et $v$ tirées au hasard. Chaque primitive a été contrôlée en comparant $F(b) - F(a)$ à l’intégrale de $f$ calculée numériquement, sur 300 intervalles $[a\,;b]$ tirés au hasard dans l’intervalle de validité. Avec des intervalles qui contiennent 0, en revanche, le calcul par $-\frac{1}{x}$ donne des résultats négatifs, donc faux, pour la fonction positive $\frac{1}{x^2}$ : c’est le piège décrit plus haut.

Pour aller plus loin

• La formule de Taylor prolonge la dérivée en approximation par des polynômes, et le théorème de Rolle explique pourquoi une fonction de dérivée nulle sur un intervalle y est constante.
• Les dérivées et primitives de cosinus et sinus s’accompagnent des identités du formulaire de trigonométrie ; les aires et volumes obtenus par intégration sont dans le formulaire des aires, périmètres et volumes.
• La dérivée et le théorème fondamental de l’analyse existent en affiche, notamment en style Tableau noir, parmi nos affiches mathématiques.

Références : les articles Dérivées usuelles (nouvel onglet), Table de primitives (nouvel onglet) et Intégration par parties (nouvel onglet) de Wikipédia, et la section 4.20 du DLMF (nouvel onglet) du NIST pour les dérivées des fonctions trigonométriques.